2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Доказать, что сумма трёх комплексных чисел равных по модулю единице, с рациональными не равными нулю вещественными и мнимыми частями не может равняться нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 04:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Коровьев в сообщении #1034981 писал(а):
не равными нулю вещественными и мнимыми частями

Это, IMHO, лишнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
amon в сообщении #1035014 писал(а):
Коровьев в сообщении #1034981 писал(а):
не равными нулю вещественными и мнимыми частями

Это, IMHO, лишнее.

Согласен, это условие лишнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
От противного.
Пусть такие три точки на единичной окружности существуют. Несложно убедиться, что длины сторон полученного треугольника равны (параллелограмм с одинаковыми сторонами -- ромб, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам [использовать дважды]).

Можем посчитать площадь треугольничка через векторное произведение. Следовательно, эта площадь выражается рациональным числом, что не есть хорошо для вписанного в единичную окружность равностороннего треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Площадь будет не рациональной, а будет выражаться через радикал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
На самом деле, после того, как Вы показали, что это равносторонний треугольник, достаточно расписать вещественные и мнимые части в $z_2=z_1e^{\frac {2\pi i}3$. Одновременная рациональность вещественной и мнимой частей $z_1$ и $z_2$ возможна только если они оба нули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ex-math в сообщении #1035176 писал(а):
Площадь будет не рациональной, а будет выражаться через радикал.

Это Вы о какой площади говорите? Если о площади вписанного в единичную окружность равностороннего треугольника, то да, и я считаю эту формулу известной. Если же о той, что я вывожу через векторное произведение, то нет: координаты векторов рациональны, поэтому и площадь рациональна. В этом-то и получилось противоречие.

ex-math в сообщении #1035176 писал(а):
На самом деле, после того, как Вы показали, что это равносторонний треугольник, достаточно расписать вещественные и мнимые части

Согласен, но через площади мне как-то и проще и красивее :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
grizzly
Это я виноват :oops: Когда говорят площадь, да еще векторное произведение, я все время представляю трехмерное пространство, а там площади треугольников с рациональными вершинами чаще всего содержат радикал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 17:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
grizzly в сообщении #1035096 писал(а):
[использовать дважды]

Дважды -- чего-то многовато. Достаточно того, что любые два вектора должны быть расположены симметрично относительно третьего. (и вообще, самое разумное доказательство равносторонности -- это "очевидно, что")

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Да, векторное решение и проще и элегантней. :!:


У меня решение алгебраическое, но "В самом деле, не пропадать же куриным котлетам де-воляй"

Комплексное число с единичным модулем и рациональными частями равно

$$\[
\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i
\]$

при некотором рациональном $t$
Обозначим

$$\[
\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} = C\left( t \right)
\]$

$$\[
\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} = S\left( t \right)
\]$


Пусть

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \alpha  = C\left( x \right) + S\left( x \right)i \\ 
 \beta  = C\left( y \right) + S\left( y \right)i \\ 
 \gamma  = C\left( z \right) + S\left( z \right)i \\ 
 \end{array} \right.
\]$
$x,y,z$ рациональные

так как

$\[
\alpha  + \beta  + \gamma  = 0
\]
$

то

$\[
{\left\{ \begin{array}{l}
 C\left( x \right) + C\left( y \right) =  - C\left( z \right) \\ 
 S\left( x \right) + S\left( y \right) =  - S\left( z \right) \\ 
 \end{array} \right.}
\]$

Возведём оба уравнения в квадрат и сложим.
Получим

$\[
C\left( x \right)C\left( y \right) + S\left( x \right)S\left( y \right) =  - \frac{1}{2}
\]$

В теме "Диофантовые уравнения и тригонометрия."
показано, что
$$\[
C\left( x \right)C\left( y \right) + S\left( x \right)S\left( y \right) = C\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right)
\]$

$$\[
C\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right) = C\left( k \right) = \frac{{1 - k^2 }}{{1 + k^2 }} =  - \frac{1}{2} \to k^2  = 3
\]$
Что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 21:39 


13/08/14
349
grizzly в сообщении #1035178 писал(а):
через площади мне как-то и проще и красивее

Через площадь треугольника коротко и красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Приведу все-таки свое, "трамвайное", хотя с векторным произведением мне тоже нравится. Мое - "физическое". Что бы сумма трех единичных векторов была нулем, надо что бы угол между этими векторами был 120 градусов. Один из векторов совместим с какой-нибудь осью, скажем, $X$. Все остальные возможные положения получаются из этого поворотом. Тогда $\sin$ и $\cos$ угла поворота должен быть рациональными числами. Но соответствующие координаты оставшихся векторов иррациональны. Значит ни фига не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
amon
То же самое я предлагал выше http://dxdy.ru/post1035176.html#p1035176.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
ex-math в сообщении #1035295 писал(а):
То же самое я предлагал выше
Согласен. То, что я написал - тоже самое, но на языке рабочих и крестьян.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трёх комплексных числах
Сообщение09.07.2015, 22:25 


13/08/14
349
amon в сообщении #1035293 писал(а):
Значит ни фига не получится.

Нет, вообще говоря, может получится. При таком повороте координаты новых векторов есть линейная комбинация иррациональных чисел с рациональными коэффициентами. В общем случае эта комбинация может оказаться рациональной. Т. е. такое общее рассуждение не проходит как доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group