Упражнение из Колмогорова, Фомина

[Grabovskiy]

В К., Ф. (функ. анализ) имеется такое упражнение:

Доказать, что в полном евклидовом пространстве (не обязательно сепарабельном) существует ортогональный нормированный базис.

Не могу с ним справиться. Начинаем док-во с нахождения максимальной орт. нормированной системы с помощью леммы Цорна. Как после этого доказать, что такая система полна?

[demolishka]

Если она не полна то...

[Grabovskiy]

demolishka в сообщении #1034959 писал(а):

Если она не полна то...

То ее линейное замыкание не совпадает со всем пространством, но тем не менее в дополнении к этому линейному замыканию не существует вектора, который был бы ортогонален ко всем векторам системы. Но я не понимаю, что нужно сказать дальше. А еще больше не понимаю, где здесь может возникнуть полнота пространства.

[demolishka]

Grabovskiy в сообщении #1034968 писал(а):

То ее линейное замыкание не совпадает со всем пространством

и значит ортогональное дополнение до этого замыкания не пусто.

Grabovskiy в сообщении #1034968 писал(а):

А еще больше не понимаю, где здесь может возникнуть полнота пространства.

Повторите теорему об ортогональной проекции. Хотя она здесь и не нужна. Но если уж и говорить об ортогональных дополнениях, то с этой теоремой.

[Grabovskiy]

Большое спасибо! Я знал только о конечномерном аналоге из линейной алгебры.

[demolishka]

demolishka в сообщении #1035038 писал(а):

Хотя она здесь и не нужна.

На самом деле нужна. Теорема об ортогональной проекции говорит как раз о непустоте ортогонального дополнения. Так что без полноты - никуда.