2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел как система стягивающихся интервалов
Сообщение08.07.2015, 17:59 


07/04/15
244
Последовательность $\{x_n\}\in\mathbb{R}$ имеет конечный предел $a\in\mathbb{R}$
Доказать, что $\bigcap\limits_{\alpha>0}\bigcup\limits_{\beta>0}\bigcap\limits_{n>\beta} (x_n-\alpha,x_n+\alpha)=\{a\}$

Задача в общем не сложная, в том смысле что результат и метод какой ожидаются понятен. Но я не понимаю как сделать один переход, проясните, пожалуйста.

1. Запишем определение предела для последовательности ${x_n}$
$$\forall\varepsilon>0 \exists N>0: \forall n>N |x_n-a|<\varepsilon$$
2. В предложенных обозначениях
$$\forall \alpha>0 \exists\beta>0: \forall n>\beta |x_n-a|<\alpha\Leftrightarrow \forall \alpha>0 \exists\beta>0: \forall n>\beta$$ $$a\in(x_n-\alpha,x_n+\alpha)$$
3. Но раз выполнено для всех таких $n>\beta$, то будет лежать в их пересечении, поэтому:
$$\Leftrightarrow\forall \alpha>0 \exists\beta>0: a\in\bigcap\limits_{n>\beta}(x_n-\alpha,x_n+\alpha)$$

Дальше мне понятно, что будет $\alpha$ -- опять же раз для всех, то лежит в пересечении, и как раз таким образом зажмем множество только до предельной точки $\{a\}$. А как "существует" и объединение связаны мне не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел как система стягивающихся интервалов
Сообщение08.07.2015, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
От противного. Если не существует, то и в объединении не лежит.
Или, если лежит в объединении, то лежит в каком-то из его элементов - пересечений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group