2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прецессия гироскопа и гироскопический момент
Сообщение07.07.2015, 17:19 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Цитирую по Болотину (курсив мой):
Правило Жуковского. Если гироскоп, вращающийся с угловой скоростью $\omega_1$ вокруг оси симметрии (Земля в ее суточном вращении), поворачивают вокруг некоторой неподвижной оси симметрии с угловой скоростью $\omega_2$ (орбитальное движение), то возникает момент $M_0$, стремящийся повернуть ось симметрии гироскопа к оси сообщаемого вращения так, чтобы при совпадении этих осей угловые скорости $\omega_1$ и $\omega_2$ были направлены в одну сторону.
Конец цитаты.
Ну вроде понятно. Ведь известно, что направление прецессии Земной оси указывает, что вызывающий ее момент приложен так, чтобы совместить эту ось с осью орбитального движения.

А это тот самый момент, который вызывает прецессию ?

У Болотина скорость прецессии Земной оси названа $\omega_2$. Так $\omega_2$ это скорость прецессии или скорость переносного движения... Не понимаю.

Скорость прецессии гироскопа по Таргу: $\Omega=\frac{M}{I \omega \sin(\theta)}$
У Матвеева : $\Omega=\frac{M}{I \omega}$. Это опечатка?

Допустим, Земля однородный шар, равномерно вращающийся вокруг оси, проходящей через центр масс. Как влияет орбитальное движение Земли на поведение ее оси. Подойдут для описания процесса кинематические уравнения Эйлера для случая, когда центр масс совершает переносное движение, а именно равномерное вращение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прецессия гироскопа и гироскопический момент
Сообщение11.07.2015, 23:24 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Динамика твердого тела с неподвижной точкой описывается уравнениями Эйлера:
Матвеев А. Н. Механика и теория относительности: Учеб. для студентов вузов /
А. Н. Матвеев. — 3-е изд. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС
21 век»: 000 «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 432 с: ил. , стр. 319

$I_x\frac{d\omega_x}{dt}+(I_z-I_y)\omega_y\omega_z=M_x$
$I_y\frac{d\omega_y}{dt}+(I_x-I_z)\omega_z\omega_x=M_y$
$I_z\frac{d\omega_z}{dt}+(I_y-I_x)\omega_x\omega_y=M_z$

Допустим на тело не действуют никакие моменты. Можно считать вторые слагаемые моментами кориолисовых сил? Наверное можно. Если тело -шар, его вращение ничем не возмущается и ось вращения покоится в пространстве. Если не шар - возможна нутация. Все знают, что период нутации определяется неравенством главных центральных моментов инерции. А чем определяется амплитуда нутации?
Пусть теперь тело "покоится" на круговой орбите: на него действуют гравитационные моменты:
Владимир Васильевич Белецкий. Движение искусственного спутника относительно центра масс М., 1965 г., 416 стр. с илл.
(Серия: «Механика космического полета») , стр. 30

$M_{x’}=3\frac{\mu}{R^3}(C-B)\gamma’\gamma’’$
$M_{y’}=3\frac{\mu}{R^3}(A-C)\gamma’’\gamma$
$M_{z’}=3\frac{\mu}{R^3}(B-A)\gamma\gamma’$

или кратко

$\mathbf{M}=3\omega_0^2 [\mathbf{\gamma}, J_s \mathbf{\gamma}]$

Я сказал "покоится", потому что на тело, движущееся по орбите действуют еще и силы инерции. Орбитальная система отсчета неинерциальна.

Обратимся теперь к Болотину соавторы:
Теоретическая механика. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., 2010, стр. 279

$J_s \dot{\omega}_\text{отн}+[\omega_\text{отн},J_s \omega_\text{отн}]-\omega_0 J_s[\omega_\text{отн},\beta]=3\omega_0^2[\gamma,J_s\gamma]- \omega_0^2[\beta,J_s\beta]$

Распишем это векторное равенство по осям (хотя бы по одной):

$A \dot{\omega_1}+(C-B)\omega_2\omega_3$=3\omega_0^2(C-B)\gamma_2\gamma_3-\omega_0^2(C-B)\beta_2\beta_3+A\omega_0(\omega_2\beta_3-\omega_3\beta_2)\
То есть
$M_x=M_1=3\omega_0^2(C-B)\gamma_2\gamma_3-\omega_0^2(C-B)\beta_2\beta_3+A\omega_0(\omega_2\beta_3-\omega_3\beta_2)$
Получается, что орбитальное движение создает возмущающие моменты - центробежные, кориолисовы и гравитационные (приливные). Причем кориолисов момент действует даже на шар у которого все моменты инерции равны.
В чем я не прав? Не вызвана ли прецессия земной оси совместным действием приливных гравитационных сил Солнца и переносных сил инерции орбитального движения- центробежной и кориолисовой, а нутация - кориолисовой силой от собственного вращения...?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.07.2015, 23:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.07.2015, 00:55 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прецессия гироскопа и гироскопический момент
Сообщение20.07.2015, 22:30 
Аватара пользователя


11/04/14
561
Подскажите, пожалуйста, чему равны проекции момента силы тяжести на подвижные оси волчка Лагранжа через углы Эйлера..
Пусть подвижная $r$ и неподвижная $R$ система связана матрицей поворота $A$:
$$\begin{bmatrix}
 \cos\psi \cos\varphi - \cos\theta \sin\psi \sin\varphi &  - \cos\psi \sin\varphi - \cos\theta \cos\varphi \sin\psi & \sin\psi \sin\theta \\
 \cos\varphi \sin\psi + \cos\psi \cos\theta \sin\varphi & \cos\psi \cos\theta \cos\varphi - \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\theta \\
 \sin\theta \sin\varphi & \cos\varphi \sin\theta & \cos\theta 
\end{bmatrix}$$

$\left\lbrace R\right\rbrace=\left\lVert A \right\rVert \left\lbrace r \right\rbrace$

Момент силы тяжести в неподвижной системе:

$M_X=m g l \sin\theta \cos\psi$

$M_Y=m g l \sin\theta \sin\psi$

$M_Z=0$

Тогда, через обратную матрицу поворота, момент силы тяжести в проекции на главные центральные оси инерции (подвижные) будут:

$M_x=m g l \sin\theta \cos\varphi$

$M_y=-m g l \sin\theta \sin\varphi$

$M_z=0$

Все правильно? Или нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Osmiy


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group