2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 21:53 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 !  PSP, замечание за избыточное цитирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Toucan в сообщении #1031396 писал(а):
 !  PSP, замечание за избыточное цитирование.

Где надо убрать цитирование ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
PSP в сообщении #1031384 писал(а):
нужно выяснить,что за линии постоянных кривизин есть в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве
Я и в трёхмерном евклидовом пространстве не знаю как выяснить, что это будет за линия в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
epros в сообщении #1031403 писал(а):
PSP в сообщении #1031384 писал(а):
нужно выяснить,что за линии постоянных кривизин есть в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве
Я и в трёхмерном евклидовом пространстве не знаю как выяснить, что это будет за линия в общем случае.

В трёхмерном евклидовом пространстве эта проблема решена.
Это обыкновенная винтовая линия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
PSP в сообщении #1031406 писал(а):
Это обыкновенная винтовая линия.
Очевидно, что нет. Тем более, что непонятно, что такое "обыкновенная" винтовая линия. Бывает цилиндрическая спираль с постоянным шагом, бывает коническая спираль с переменным шагом. Наконец, одно в другое может переходить в самых неожиданных точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
epros в сообщении #1031411 писал(а):
PSP в сообщении #1031406 писал(а):
Это обыкновенная винтовая линия.
Очевидно, что нет. Тем более, что непонятно, что такое "обыкновенная" винтовая линия. Бывает цилиндрическая спираль с постоянным шагом, бывает коническая спираль с переменным шагом. Наконец, одно в другое может переходить в самых неожиданных точках.

Ошибаетесь.
Обыкновенная винтовая линия-это цилиндрическая спираль с постоянным шагом.Вот она и является самым общим видом линии с постоянными кривизинами в 3-х мерном евклидовом пространстве.Увидите в любом соответствующем учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
PSP в сообщении #1031412 писал(а):
с постоянными кривизинами

По моему кривизна одна, а вторая характеристика—кручение. Как ни называй ее, Вы правы: это обычная винтовая линия (helix).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Red_Herring в сообщении #1031413 писал(а):
PSP в сообщении #1031412 писал(а):
с постоянными кривизинами

По моему кривизна одна, а вторая характеристика—кручение. Как ни называй ее, Вы правы: это обычная винтовая линия (helix).

Вообще-то в многомерных пространствах говорят так : первая кривизина - "кривизина",вторая кривизина - "кручение" ,третья кривизина - "третья кривизина " и т.д...
Кстати,для 4-х мерного галилеева пространства эта проблема решена.(не мной,а А.И. Долгаревым)
Дело за 4-х мерным псевдоевклидовым пространством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение26.06.2015, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
PSP в сообщении #1031419 писал(а):
Вообще-то в многомерных пространствах говорят так : первая кривизина - "кривизина",вторая кривизина - "кручение" ,третья кривизина - "третья кривизина " и т.д...
Давайте-ка поподробнее для 4-х мерного. Как я понимаю, там будет три равноправных вида "кручения", причём непонятно, как определять какое из них "кручение", а какое -- "четвёртая кривизна".

Кстати, решение для трёхмерного пространства, предполагающее сохранение двух величин: "кривизны" И "кручения", годится только для метрического пространства: В аффинно-связном координатно-независимым способом разделить две компоненты кривизны на собственно "кривизну" и "кручение" не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
epros в сообщении #1031423 писал(а):
PSP в сообщении #1031419 писал(а):
Вообще-то в многомерных пространствах говорят так : первая кривизина - "кривизина",вторая кривизина - "кручение" ,третья кривизина - "третья кривизина " и т.д...
Давайте-ка поподробнее для 4-х мерного. Как я понимаю, там будет три равноправных вида "кручения", причём непонятно, как определять какое из них "кручение", а какое -- "четвёртая кривизна".

Кстати, решение для трёхмерного пространства, предполагающее сохранение двух величин: "кривизны" И "кручения", годится только для метрического пространства: В аффинно-связном координатно-независимым способом разделить две компоненты кривизны на собственно "кривизну" и "кручение" не удастся.

1.Речь только о метрических пространствах.
2.Для 4-х мерного евклидова (псевдоевклидова) пространства -первая кривизина - "кривизина",вторая кривизина - "кручение" ,третья кривизина - "третья кривизина ".
"четвёртая кривизна" - это уже для 5-мерного пространства.
Если Вас эта тема заинтересовала - могу выслать своё досье по этой тематике.Учтите,там информации очень много.Но подробного решения пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 00:24 


10/02/11
6786
PSP в сообщении #1031225 писал(а):
Если задаётся метрика такого пространства,то из неё можно вывести уравнения особых линий - геодезических.
Как я понимаю,задание семейства геодезических так же может задать пространство,как и задание его метрики.Так ?

давайте считать, что каждая гладкая кривая это геодезическая. и какой метрике такие геодезические соответствуют? думаю никакой

PSP в сообщении #1031225 писал(а):
Можно ли понятие кривизин обобщить на неплоские пространства?


никаких противопоказаний нет. если $\gamma(t)$ -- кривая на римановом многообразии и $v_1=\dot\gamma$ -- ее касательный вектор, то $v_{k+1}=\nabla_{v_1}v_k$. Ортогонализацией векторов $v_k$ получаем репер Френе

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
PSP в сообщении #1031427 писал(а):
1.Речь только о метрических пространствах.
Уже удивительно. Вы же собирались с помощью семейства кривых метрику задавать. А какой смысл её задавать, если она у Вас УЖЕ задана?

PSP в сообщении #1031427 писал(а):
2.Для 4-х мерного псевдоевклидова пространства -первая кривизина - "кривизина",вторая кривизина - "кручение" ,третья кривизина - "третья кривизина ".
"четвёртая кривизна" - это уже для 5-мерного пространства
Это Вы только названия приводите, а я прошу способ определения для каждой из этих величин.

Например, для трёхмерного пространства примерно так:
1) Находим первую производную радиус-вектора по параметру кривой (вектор "скорости") и вторую производную (вектор "ускорения").
2) Проводим ортогонально к кривой "плоскость кручения" (вектор "ускорения" лежит на ней).
3) Длина вектора "ускорения" определяет "изгиб".
4) Угловая скорость вращения вектора "ускорения" в "плоскости кручения" определяет "кручение".

Теперь для четырёхмерного:
1) Аналогично.
2) Это будет не плоскость, а трёхмерная "гиперплоскость кручения".
3) Аналогично.
4) У вектора на трёхмерной гиперплоскости будет ТРИ компоненты угловой скорости вращения. Нужно каким-то образом их определить и обеспечить неизменность всех трёх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
epros в сообщении #1031435 писал(а):
PSP в сообщении #1031427 писал(а):
1.Речь только о метрических пространствах.
Уже удивительно. Вы же собирались с помощью семейства кривых метрику задавать. А какой смысл её задавать, если она у Вас УЖЕ задана?



Я не собирался с помощью семейств кривых метрику задавать.Я спрашивал,можно ли это сделать? То ли это "семейства кривых " - геодезические, то ли это "семейства кривых" - линии постоянных кривизин.И получил однозначный ответ - нельзя.

Идеология определения этих величин похожа.
Подробнее - как раз в том досье,что Вам предлагал.
Причём в 4-м мерном псевдоевклидовом случае это можно сделать разными вариантами.Не определился,каким лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Для семейств геодезических -- ответ "нельзя". А для семейств кривых постоянной кривизны -- вопрос всё ещё выглядит недостаточно понятным. Даже не потому, что в неметрическом пространстве не получится определить "кривую постоянной кривизны". Мне, например, так и не стало понятным, даже в случае метрического пространства речь о каком семействе идёт. Скажем, в трёхмерном пространстве -- это цилиндрические спирали всевозможных радиусов и шагов, проведённые во всевозможных направлениях из всевозможных точек? Т.е. мы проводим множество таких спиралей, потом забываем о том, что у нас есть метрика, и пытаемся эту метрику найти?

А кто его знает, может быть оно и возможно... Только какая-то уж очень изощрённая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрика и особые линии.
Сообщение27.06.2015, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
epros в сообщении #1031441 писал(а):
Для семейств геодезических -- ответ "нельзя". А для семейств кривых постоянной кривизны -- вопрос всё ещё выглядит недостаточно понятным. Даже не потому, что в неметрическом пространстве не получится определить "кривую постоянной кривизны". Мне, например, так и не стало понятным, даже в случае метрического пространства речь о каком семействе идёт. Скажем, в трёхмерном пространстве -- это цилиндрические спирали всевозможных радиусов и шагов, проведённые во всевозможных направлениях из всевозможных точек? Т.е. мы проводим множество таких спиралей, потом забываем о том, что у нас есть метрика, и пытаемся эту метрику найти?

А кто его знает, может быть оно и возможно... Только какая-то уж очень изощрённая задача.

Эта "уж очень изощрённая задача" мною и не ставится.Меня устроит ответ "нельзя" для этой "уж очень изощрённой" задачи.

На первых шагах задача попроще :
Каков общий вид линии постоянных кривизин в 4-хмерном псевдоевклидовом пространстве?
Ответ,естественно,будет в форме уравнений в параметрическом виде..(частным случаем,естественно,будет и обыкновенная винтовая линия).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group