ТАУ - помогите разобраться в выводе формулы

[themaster]

Добрый день!
Пытаюсь самостоятельно изучать ТАУ - в частности, уравнения состояния системы. Обнаружил более-менее понятную книгу по адресу:
https://en.wikibooks.org/wiki/Control_S ... _Solutions
Там приводится решение уравнения состояния системы с ненулевым входом:
$x'(t) = Ax(t)+Bu(t)$
Это уравнение домножается на $e^{-At}$ (с переносом $Ax(t)$ влево) - и получается так:
$e^{-At}x'(t) - e^{-At}Ax(t) = e^{-At}Bu(t)$
А потом то, что слева, преобразуется по формуле производной от произведения функций:
$\frac{d(e^{-At}x(t))}{dt} = e^{-At}Bu(t)$
Далее это уравнение решается со следующими пояснениями:

Цитата:

Now we can integrate both sides, from the initial time ($t_0$) to the current time ($t$), using a dummy variable $\tau$, we will get closer to our result. Finally, if we premultiply by $e^{At}$, we get our final result:

"Теперь мы можем интегрировать обе стороны, от начального времени($t_0$) до текущего времени($t$), используя вспомогательную переменную $\tau$, мы подойдём ближе к нашему результату. В конце концов, если мы предварительно умножим на $e^{At}$, то мы получим наш окончательный результат:
$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$
Так вот я и не могу понять, как интегрируется и решается это уравнение. Может быть, кому-нибудь будет несложно восстановить промежуточные шаги - или ткнуть пальцем, где этот процесс разжёван и в рот положен, чтобы осталось только проглотить?

[profrotter]

$$\frac{d(e^{-At}x(t))}{dt} = e^{-At}Bu(t)$$

$$\int\limits_{t_0}^{t}\frac{d(e^{-At'}x(t'))}{dt'}dt' = \int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$

$$e^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(t_0)=\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$

$$x(t)=...$$

[themaster]

Спасибо за внимание!
Итак, у меня есть вот это:

$$e^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(t_0)=\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$

Дальше я переношу $t_0$ вправо - и получаю вот это:

$$e^{-At}x(t)=e^{-At_0}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$

А дальше - мне надо разделить обе части на $e^{-At}$ - и я получу вот это:

$$x(t)=\frac{e^{-At_0}}{e^{-At}}x(t_0)+\frac{1}{e^{-At}}\int\limits_{t_0}^{t}e^{-At'}Bu(t')dt'$$

Дальше можно преобразовать и заменить $t'$ на $\tau$:

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}\frac{e^{-A\tau}}{e^{-At}}Bu(\tau)d\tau$$

Ну и, собственно, последний штрих - заменяю дробь на вычитание степеней:

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int\limits_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$$

Собственно, я хотел спросить кое-что ещё - но разобрался в процессе формулирования вопроса
А все эти выкладки - пусть будут тут, для законченности, что ли...