2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:06 


14/10/14
17
Есть функциональный ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}nx\exp(-n^{5}x^{2})$, который нужно исследовать на равномерную сходимость.

Я знаю, что нужно решать через признак Вейерштрасса(подсказали). Первый вопрос: почему проще именно через него?

Итак нам нужно найти такой числовой ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}C_{n}$, который бы сходился и выполнялось бы неравенство $\left|nx\exp(-n^{5}x^{2})\right| \leqslant C_{n}$

Далее нужно найти мажоранту (а почему без нее обойтись нельзя?)
$(nx\exp(-n^{5}x^{2}))'_{x}=n\exp(-n^{5}x^{2})+\exp(-n^{5}x^{2})(-2xn^5)nx=\exp(-n^{5}x^{2})(n-2x^2n^6)=0$
отсюда следует, что$x^2=\frac{1}{2n^5}$, a $x=\sqrt\frac{1}{2n^5}$

Тогда $C_n$ можно записать так: $\frac{n}{\sqrt{2en^5}}$

Мажорирующий ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}\frac{1}{\sqrt{2en^3}}$ сходится, следовательно функциональный ряд сходится равномерно при $x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2n^5}} $

Правильно ли решено?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А не подсказали, что исследовать на равномерную сходимость, не указывая множества - это патология?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:12 


14/10/14
17
Otta в сообщении #1027852 писал(а):
А не подсказали, что исследовать на равномерную сходимость, не указывая множества - это патология?

Упс... забыла указать. исследовать на множестве вещественных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
lodVera в сообщении #1027850 писал(а):
следовательно функциональный ряд сходится равномерно при $x \geqslant \frac{n}{\sqrt{2en^5}} $

Тогда что тут должно быть написано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:26 


28/05/12
214
lodVera
У вас при каких $x$ выполняется $\left|nx\exp(-n^{5}x^{2})\right| \leqslant C_{n}$?
А еще когда вы нашли экстремум желательно пояснить почему это именно максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:38 


14/10/14
17
Получается неравенство выполняется при $x \geqslant \frac{1}{2n^5}$ а функциональный ряд сходится на множестве вещественных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный ряд. Равномерная сх-ть
Сообщение16.06.2015, 18:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
lodVera в сообщении #1027867 писал(а):
Получается неравенство выполняется при $x \geqslant \frac{1}{2n^5}$

lodVera
Как Вы узнаете, когда оно выполняется?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group