Доказать, что выражение есть целое, корень.

[Xom]

ewert в сообщении #1027228 писал(а):

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

Первое, что должно приходить в голову: а не извлекается ли корень?... Для начала попытайтесь подобрать целые $m,\;n$ так, чтобы получилось $(m+n\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$.

Не понимаю, почему ставится так условие? Какая идея?
m и n то подобрать то я можно, но я не понимаю откуда это и что даст.
Что квадрат подкоренного выражения выражения это сумма квадратов, а что мне это о формате чисел скажет то?
Или если приравнивать выражение к иксу то я получу чистый квадрат подкоренного выражения в левой части , в правой я получаю сумму в восьмой степени, и далее выразить как то я уже не могу.

[ИСН]

Не надо ни m, ни n. Упростите выражение $(\sqrt2-1)^2$.

[ewert]

Xom в сообщении #1027407 писал(а):

m и n то подобрать то я можно, но я не понимаю откуда это и что даст.

Это называется метод научного тыка. И он довольно часто помогает.

Однако же потом я напомнил Вам более сознательную идею TOTAL: оценить диапазон, за пределами которого решений точно не может быть -- и проверять только внутри этого диапазона. Жаль, что Вы не прислушались.

[Xom]

ИСН в сообщении #1027409 писал(а):

Не надо ни m, ни n. Упростите выражение $(\sqrt2-1)^2$.

$(\sqrt2-1)^2 = 3-2\sqrt[]{2}$

ewert в сообщении #1027411 писал(а):

Xom в сообщении #1027407 писал(а):

m и n то подобрать то я можно, но я не понимаю откуда это и что даст.

Это называется метод научного тыка. И он довольно часто помогает.

Однако же потом я напомнил Вам более сознательную идею TOTAL: оценить диапазон, за пределами которого решений точно не может быть -- и проверять только внутри этого диапазона. Жаль, что Вы не прислушались.

Пока не могу понять этого метода, надо дольше думать.

[ewert]

Xom в сообщении #1027412 писал(а):

надо дольше думать.

Не надо вообще думать, это вредно. Это никакой не метод. Просто выражение в условии даже по грубым прикидкам содержится в очень небольшом диапазоне, и если утверждение о его целочисленности вообще верно, то проверять надо лишь очень небольшое количество возможных целочисленных значений. Каждое из которых проверяется элементарно.

[ИСН]

А теперь упростите $(3-2\sqrt2)^2$

[Xom]

Понятно, т.е $\sqrt [4]{17-12\sqrt{2}}$ = $\sqrt[4]{ (\sqrt[]{2}-1)^4}$
А как дойти до этого? Я же решил обратную задачу и не знаю самой первой подсказки.
Какие рассуждения я должен сделать?
Если четвертая степень у корня, я думаю а не является ли подкор. выр. разностью 4 степени? т.е надо побрать пять членов под данное выражение, что мне трудно.

Lia: Xom
Набирайте корни нормально. 2\sqrt{2} $2\sqrt{2}$

[provincialka]

Xom в сообщении #1027684 писал(а):

я думаю а не является ли подкор. выр. разностью 4 степени?

Что есть "разность четвертой степени"? Может, вы имели в виду "является четвертой степенью разности"?

Догадаться, $\sqrt2 -1$, действительно, сложно... Хотя... Ну что там может быть еще?

Идея же в том, чтобы извлечь корень, а корень 4 степени можно извлечь в два приема. И ясно, что ответ надо исать в виде $a\sqrt 2- b$.

Вот, чему равен $\sqrt{9+4\sqrt3}$?

[ИСН]

Чтобы дойти до этого, надо приблизительно посчитать на калькуляторе, какое там целое число, а потом последовательными возведениями в квадрат доказать, что таки да, это точно именно оно. Это всё говорили уже.

[TOTAL]

Xom в сообщении #1027684 писал(а):

$\sqrt [4]{17-12\sqrt{2}} - \sqrt{2}$
А как дойти до этого?

До этого доходить не требуется, дойдите хотя бы до калькулятора и прикиньте, каким целым числом есть шансы быть.

[Sender]

Мне кажется, единственное, о чём в этой теме ещё не вспомнили, это формула сложного радикала.

$$\sqrt{a \pm \sqrt {b}}=\sqrt {\frac {a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt {\frac {a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$

Хотя бы в том смысле, что если $a^2-b$ - полный квадрат, значит, это "жжж" неспроста.

[ewert]

До калькулятора не нужно. Чему может быть равен корень четвёртой степени хотя бы даже из пяти?

Это во-первых. А во-вторых: какие целые $n$ уж точно не могут давать равенство $\sqrt[4]{17-12\sqrt{2}}=n+\sqrt{2}$ ?

[Xom]

$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$
думаю,
какое это число - 12 раз по 1.4 это 16-17, т.е под корнем из 17 вычитается очень близкое к нему число, т.е под корнем число меньше 1 и больше нуля.
Какие числа в 4 степени дают меньше 1 ? это числа меньше 1.
Нецелое положительное меньше 1 и больше нуля минус примерно 1.4 что даст мне? отрицательное число.
Ответ это отрицательное число и если оно целое то только минус 1.
Целое отр. это у нас получится только когда $ \sqrt {2} -1 - \sqrt {2} $
тоесть при $ \sqrt[4]{17 - 12 \sqrt{2} } = \sqrt{2} -1$
это возможно когда $ 17 - 12 \sqrt{2} =(\sqrt{2} -1)^4 $

я ещё подумаю что сам написал.

[ИСН]

Вот, вот. Вот так и надо было.

[ewert]

Xom в сообщении #1027706 писал(а):

какое это число - 12 раз по 1.4 это 16-17,

Это верно, но достаточно ещё грубее: под корнем слева стоит уж всяко меньше пяти и, значит, сам корень четвёртой степени всяко меньше двух. А корень из двух всяко больше единицы и, значит, разность уж точно не больше нуля.

Хотя то, что она не может быть положительной, видно и безо всяких прикидок: в положительном случае в какую степень $(n+\sqrt2)$ ни возводи, перед корнем из двух получится плюс. А нужен минус.