2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квантовая механика без волновых функций
Сообщение13.06.2015, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Обсуждалась ли на этом форуме вот такая вот штучка: http://arxiv.org/abs/1201.2382 ? Поиском, вроде, не находит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение13.06.2015, 23:34 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Утундрий в сообщении #1026849 писал(а):
Обсуждалась ли на этом форуме вот такая вот штучка: http://arxiv.org/abs/1201.2382 ? Поиском, вроде, не находит.

1. На форуме я обсуждения подобных штучек не видел, хотя несколько раз дискуссии как бы приближались к этим идеям, но потом по касательной уходили в другую сторону.
2. Идея сама по себе тривиальна. ЛЛ-3 параграф 19 - Плотность потока в сущности о том же, но у ЛЛ это очень поверхностно.
3. Название препринта очень плохое. Этот метод вовсе не отказывается от волновой функции, а просто строит на ее основе другое представление для состояния системы - как бы траекторное.
4. Авторы препринта вовсе не авторы "Штучки". После того, как траектории Бома гавкнулись, Holland придумал свои траектории, хотя все это уже витало в воздухе и бродило призраком.
5. На Западе есть уже несколько монографий по этому методу и масса статей. Но особого тренда в этом я например не вижу. Это те же шары, но вид сбоку.
6. Фраза авторов препринта про spin-free - это болтология. Просто у них нерелятивистский случай. Если они газанут и поднимут скорость, то либо им придется вводить спин, либо их штучка гавкнется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение14.06.2015, 01:01 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

Я слышал в программе Гордона о какой-то рязановской формулировке квантмеха без волновых функций...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение16.06.2015, 15:37 
Аватара пользователя


04/06/14
80
Понятие волновой функции - это рудимент описания квантовой реальности Шредингером. Согласно Дираку, состояние квантовой системы - это вектор гильбертова пространсва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение21.06.2015, 02:02 


28/01/15

516
Волновая функция для квантовой механики это святая святых. Это равно обсуждению СТО без постоянства скорости света. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение21.06.2015, 09:22 


07/11/12
135
Есть ещё метод матрицы плотности, когда волновая функция вообще не упоминается. С вычислительной точки зрения этот метод позволяет, например, для N-электронной системы ограничиться одно- и двухэлектронными матрицами плотности, которые зависят соответственно от трех и шести координат вместо 3N-координатной волновой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение21.06.2015, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не надо путать матрицу плотности и функционал плотности.

Метод матрицы плотности - не только позволяет любые вычисления с волновыми функциями, но и более мощен: он позволяет описывать смешанные состояния, которые одной волновой функцией не задать.

Метод функционала плотности - наоборот, содержит меньше информации, чем волновая функция, но вычислительно более выгоден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение21.06.2015, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Здесь, почему-то, особое внимание уделяется соответствию $$\[
\begin{gathered}
  L = \frac{1}
{2}m\dot x^2  - V\left( x \right) - Q\left( {\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right) \hfill \\
  E = \frac{1}
{2}m\dot x^2  + V\left( x \right) + Q\left( {\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$
Да, это накладывает на $Q$ ряд ограничений и простейшее удовлетворяющее им решение оказывается правильным выражением для т.н. "квантового потенциала". Однако, если отвлечься от вышеупомянутого "чудесного совпадения", какой может быть у данного условия смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение23.06.2015, 06:04 
Аватара пользователя


18/06/13

505
Подмосковье
V_V_V в сообщении #1027802 писал(а):
Понятие волновой функции - это рудимент описания квантовой реальности Шредингером. Согласно Дираку, состояние квантовой системы - это вектор гильбертова пространсва.

Согласно тому же Дираку (уравнению Дирака) электрон описывается спинорной волновой функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение27.06.2015, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Продолжаю потихоньку разгребать муравейник сей. Взять к примеру лагранжиан. Коль уж он $L\left( {x,\dot x,\ddot x,\dddot x...} \right)$, то $\delta \int {Ldt}  = 0 \; \Leftrightarrow \; L_x  - \left( {L_{\dot x} } \right)^.  + \left( {L_{\ddot x} } \right)^{..}  - \left( {L_{\dddot x} } \right)^{...}  + ...=0$. Поскольку имеется инвариантность к сдвигу времени, то должна сохраняться какая-то энергия. Найдём её, вычисляя $\dot L = L_x \dot x + L_{\dot x} \ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$ Сперва избавимся от ${\dot x}$. Для этого "дифференцированием по частям" выделим полную производную в первом слагаемом $\dot L = \left( {p_1 \dot x} \right)^.  - p_1 \ddot x + L_{\dot x} \ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$, где введено обозначение $p_1  \equiv L_{\dot x}  - \left( {L_{\ddot x} } \right)^.  + \left( {L_{\dddot x} } \right)^{..}  - ...$ с помощью которого уравнение для экстремалей записывается в краткой форме $L_x  = \dot p_1 $. На этом этапе имеем $0 = \left( { - L + p_1 \dot x} \right)^.  + \left( {L_{\dot x}  - p_1 } \right)\ddot x + L_{\ddot x} \dddot x + ...$ Теперь заметим, что коэффициент при ${\ddot x}$ тоже имеет вид полной производной $L_{\dot x}  - p_1  = \dot p_2 $, где обозначено $p_2  \equiv L_{\ddot x}  - \left( {L_{\dddot x} } \right)^.  + ...$ Продолжая в том же духе, окончательно получим $\left( { - L + p_1 \dot x + p_2 \ddot x + ...} \right)^.  = 0$ Итак, выражение для энергии получилось следующим
$$E =  - L + p_1 \dot x + p_2 \ddot x + p_3 \dddot x + ...$$
где
$$\begin{gathered}  p_1  \equiv L_{\dot x}  - \left( {L_{\ddot x} } \right)^.  - \left( {L_{\dddot x} } \right)^{..}  + ... \hfill \\  p_2  \equiv L_{\ddot x}  - \left( {L_{\dddot x} } \right)^.  + ... \hfill \\  p_3  \equiv L_{\dddot x}  - ... \hfill \\ \end{gathered} $$
В принципе, тут можно было бы остановиться и перейти к отысканию $Q$, допустимых нашим загадочным условием (см. выше). Но мне захотелось посмотреть - не будет ли здесь какой-нибудь гамильтоновой формы? Интернет был далеко, ручка с бумагой, наоборот, близко и я решил употребить наличествующее на благое дело удовлетворения пустого любопытства. И вот чего я нашёл.

Обозначим $x_1  \equiv x \; , x_2  \equiv \dot x \; , x_3  \equiv \ddot x \; , ...$ Это даст привычное $E =  - L + p_1 \dot x_1  + p_2 \dot x_2  + ...$, которое так же можно переписать в виде $E =  - L + p_1 x_2  + p_2 x_3  + ...$ Пользуясь попеременно двумя этими формами, получаем
$$dE = \dot x_1 dp_1  - \dot p_1 dx_1  + \dot x_2 dp_2  - \dot p_2 dx_2  + ...$$
То есть, система действительно гамильтонова, если только удаётся выразить все производные от $x$ через импульсы $p_i$. Условия разрешимости имеют вид $L_{\dot x\dot x}  \ne 0, \; L_{\ddot x\ddot x}  \ne 0,...$ и по крайней мере одно из них нарушается при попытке найти приведенное в статье $Q$. Так что это было гамильтонизирующее отступление. О результатах попытки найти $Q$ будет сообщено позднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение03.07.2015, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
А знаете, я видимо таки не понял основную идею. Вот начал сейчас отыскивать эти самые решения и внезапно отыскал для всех случаев. Хотя в статье клятвенно заверяется, что первое решение возможно только для $Q$ содержащих производные не ниже третьих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение23.12.2015, 17:57 


20/12/15

67
Цитата:
Квантовая механика без волновых функций

Этим никого не удивишь. Ещё в конце 90-ых была работа (см. обзор), где полностью убрали комплексность, отрицательность и представили квантовомеханические состояния (включая спин) как нормальные положительные плотности вероятности. Правда, для непрерывных переменных это далось ценой увеличения переменных на единицу, но потом удалось сделать и без этого -- см. эту и эту работы. Проблема в том, что описание получается технически слишком тяжёлым, и информатику поверх него не положишь, т.к. информатика требует вычислять фон-Неймановскую энтропию, которая легко считается только в обычном дираковском представлении с векторами состояний (информация -- мера смешанности системы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение22.01.2016, 14:58 


19/03/15
291
Утундрий в сообщении #1031561 писал(а):
Но мне захотелось посмотреть - не будет ли здесь какой-нибудь гамильтоновой формы?
Это называется схема Остроградского. Как только есть лагранжиан, всегда есть и гамильтонова форма. Не ясно, что здесь нового для квантовой механики, коль скоро мы сразу попадаем в задачу квантования некоторой стандартной динамической системы. Эти ребята пишут "TIQM (timeIndepQuantMech) states can be represented uniquely with a single trajectory"... Я это с трудом понимаю и даже начинаю думать не альты ли они?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение15.04.2016, 17:23 


12/02/14
28
Волгоград
Квантовая механика в изложении Дирака действительно не рассматривает волновую функцию, как исходное понятие. Исходные - векторы состояний. Причем даже не обязательно в гильбертовом пространстве, хотя Дирак такой термин употребляет, не вкладывая в него строгий смысл (полноту нормы). Строго говоря, гильбертовы пространства получаются только в тривиальном случае, когда нет наблюдаемых с непрерывным спектром (импульсов например). А волновая функция по Дираку - всего лишь представитель вектора состояния в каком-нибудь представлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика без волновых функций
Сообщение29.04.2016, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
А вот такой вопрос: нет ли чего-то аналогичного (т.е. типа уравнения для "квантовой траектории", основанного, скажем, на уравнении Ланжевена, т.е. чтобы там стояла какая-нть случайная сила и какая-нть автокорреляционная функция с прошлыми позициями-скоростями?) более вычислительно-эффективного. Я просто знаю работу, в которой на основе обобщенного уравнения Ланжевена построили достаточно эффективный квантовый термостат для мол.динамики (https://www.researchgate.net/publication/26721388_Nuclear_Quantum_Effects_in_Solids_Using_a_Colored-Noise_Thermostat), вследствие чего удается получать траектории, воспроизводящие квантовые распределения. Но там во-первых куууууча подгоночных параметров, а во-вторых некоторые свойства эта штука все-таки не очень хорошо воспроизводит. Вот собственно, нет ли чего более фундаментального (без подгоночных параметров) и вычислительно-эффективного (будем считать расчет автокорр.функций для траектории незначительными выч. затратами). :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group