2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение09.07.2015, 16:37 
Аватара пользователя


19/11/14

80
д. Новые Кабаны =)
Munin в сообщении #1035113 писал(а):
nenefertiti в сообщении #1034932 писал(а):
Разве я сказал, что трудоемко именно для меня :shock: ? Я ж про общую картину.

На общей картине оно как раз не трудоёмко ни для кого, кроме самых-самых новичков.
И таких новичков - половина! Профит!

(Оффтоп)

Как всегда, г-н Мунин проигнорировал одну неудобную для себя часть фразы, уцепился за другую и вышел сухим из воды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение13.07.2015, 20:32 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8759
nenefertiti в сообщении #1034954 писал(а):
Извини, земляк )
 !  nenefertiti, замечание за фамильярность.
Forum Administration в Правилах форума #27356 писал(а):
1) Нарушением считается:

е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение26.10.2015, 05:16 


12/05/07
306
г. Уфа
Anton_Peplov в сообщении #1027006 писал(а):
Стартовый вопрос был, в общем, не в этом, а в попытке собрать отзывы действующих преподавателей о том, в каком порядке они читают линал.
Я действующий преподаватель. Веду аналитическую геометрию и линейную алгебру у физиков в ФТИ БашГУ. Ангем начинаю с элементов линейной алгебры - системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера, ранги матриц, определители и их свойства, алгебраические операции с матрицами, вычисление обратной матрицы. Это в качестве ликбеза, чтобы потом не тормозить и не отвлекаться на это, когда возникает необходимость. Затем векторы в трёхмерном (евклидовом) пространстве, линейная зависимость и независимость, базисы, замена базисов, матрицы перехода, преобразование координат векторов при замене базиса. После этого идут скалярное, векторное и смешанное произведения, всевозможные формулы для их вычисления в прямоугольных и косоугольных координатах, матрицы Грама, структурные константы, символы Кронекера и Леви-Чивита и формулы их связывающие. В конце семестра совсем классика - уравнения прямых, плоскостей, затем кривые и поверхности второго порядка. Все приходится давать без доказательств ввиду жёсткой нехватки времени. Лекции одна пара в неделю, семинары одна пара в две недели. На инженерном потоке всё в два раза жёстче - ангем и линейная алгебра проходятся в один семестр при том же количестве лекций и семинаров. Поэтому у них расклад несколько иной. Согласно требованиям учебной части каждый предмет надо разделить на два модуля и по итогам каждого модуля выставить баллы за успеваемость. Спасает система WebWork.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение26.10.2015, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62703
Вот эти вот понятия:
    Ruslan_Sharipov в сообщении #1067005 писал(а):
    линейная зависимость и независимость, базисы, замена базисов, матрицы перехода, преобразование координат векторов при замене базиса
- формулируются только для 3-мерного, или для $n$-мерного случая? (Для физиков, хорошо бы и комплексный случай упомянуть, имхо...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение01.11.2015, 13:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31004
У нас читается так же (вообще это стандартная программа), за исключением вот этого:

Ruslan_Sharipov в сообщении #1067005 писал(а):
всевозможные формулы для их вычисления в прямоугольных и косоугольных координатах, матрицы Грама, структурные константы, символы Кронекера и Леви-Чивита и формулы их связывающие.

Всё это (вообще произвольные конечномерные пространства, в т.ч. комплексные, операторы и т.д.) -- это уже второй семестр. На тех факультетах, кому повезло, конечно; на некоторых первым семестром всё и обрывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4599
Вот еще вопрос созрел. Есть два способа определить линейно зависимую систему векторов. [Я умышленно говорю "линейно зависимая система" вместо "линейно зависимые векторы", т.к. второй термин мне всегда казался сбивающим с толку: линейная (не)зависимость - это ведь не характеристика вектора (предикат) и не отношение его к другому вектору (двуместный предикат, бинарное отношение), а характеристика всей системы в целом. Легко предъявить систему, где каждая пара векторов линейно независима, а вся система линейно зависима].

1. Один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Плюсы: очень хорошо виден смысл термина "линейная зависимость" - раз один выражается через другие, то зависимость. Минусы: непонятно, считать ли линейно зависимой систему из одного вектора. Вроде как нет, потому что нет там никаких остальных, но черт разберет эти логические выкрутасы с пустым множеством. Однако же при обоих ответах ломается чеканная формулировка "базис - линейно независимая система": если система из одного произвольного вектора линейно зависима - то на одномерных пространствах, а если линейно независима - то на нульмерных.

2. Есть нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная $\mathbf 0$. Плюсы: исчезает баг с одномерными пространствами, система из одного вектора $\mathbf x$ линейно зависима лишь в том случае, когда $\mathbf x = \mathbf 0$. Минусы: ускользает интуитивный смысл термина - первокуру неясно, с чего вдруг существование какой-то хитрой линейной комбинации (он и слова такие в первый раз услышал), равной нулю (почему нулю?), должно означать "зависимость". Конечно, в математике непрозрачность происхождения термина - это правило, но тем ценнее исключения, а тут мы это исключение своими ногами в землю затаптываем. Впрочем, если тут же после определения привести предыдущую формулировку как теорему для $n>1$, можно относительно спасти положение.

Вот и вопрос: как Вы даете определение линейной независимости? Есть ли у студентов трудности с усвоением этого понятия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 11:55 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
10507
Кронштадт
По идее, 1-я формулировка является тривиальным следствием 2-й. Во всяком случае, я ни разу не видел студента, который не посчитал бы это само собой разумеющимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Anton_Peplov
Замечу, что второе работает для любого $R$-модуля, а первое не всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 12:25 
Заслуженный участник


11/05/08
31004
Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):
как Вы даете определение линейной независимости?

Как исходное определение -- второе. Да, оно более абстрактно; но имеет то огромное преимущество, что векторы в нём равноправны. И ещё одно странное достоинство: опыт показывает, что многие студенты именно здесь впервые сталкиваются с понятием "тривиальный" в математическом смысле. И именно здесь смысл этого термина довольно прозрачен.

Первая же формулировка тоже обязательна как некая теорема (или предложение, или утверждение -- это уже дело вкуса). Иначе действительно не очень понятно, при чём тут зависимость. После этого надо сделать замечание насчёт системы из двух векторов.

Насчёт одного вектора тоже должно присутствовать замечание -- этот случай изначально действительно выглядит несколько сомнительным.

Pphantom в сообщении #1215939 писал(а):
По идее, 1-я формулировка является тривиальным следствием 2-й.

Ну, не таким уж и тривиальным. Ведь доказывать нужно в обе стороны. И это доказательство следует зафиксировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 13:19 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
10507
Кронштадт
ewert в сообщении #1215950 писал(а):
Ну, не таким уж и тривиальным. Ведь доказывать нужно в обе стороны. И это доказательство следует зафиксировать.
Для вящей полноты изложения - да. Но с практической точки зрения обычно достаточно именно следствия, а не эквивалентности, и оно действительно оказывается для всех очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19800
Уфа
ewert в сообщении #1215950 писал(а):
Насчёт одного вектора тоже должно присутствовать замечание -- этот случай изначально действительно выглядит несколько сомнительным.
Тогда ещё надо упомянуть линейно независимую пустую систему, которая будет базисом нульмерного пространства. :-) Когда пойдут суммы-операторы, такое пространство ведь всё равно всплывёт. (Впрочем, тогда можно будет это и задать в виде вопроса: а вы помните определение?.. а какой там будет базис, а?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 17:24 
Заслуженный участник


11/05/08
31004
arseniiv в сообщении #1215998 писал(а):
Тогда ещё надо упомянуть линейно независимую пустую систему, которая будет базисом нульмерного пространства. :-)

Это уже хоть сколько-то естественным образом в понятие линейной независимости не укладывается. Понятие нульмерного пространства придётся добавить, и добавить позже -- когда дело вообще дойдёт до размерностей.

Такое, кстати, довольно часто случается. В случае производных нулевого порядка, например. Или корней нулевой кратности. Всё это вещи нужные, однако в формальные определения слабо укладываются. Если, конечно, нет склонности к вывихам мозга.

Линейная независимость для одного вектора -- случай промежуточный. Он формально легко укладывается в общее определение, только терминологически выглядит странно. Ну вот ровно поэтому и следует акцентировать на нём внимание.

Pphantom в сообщении #1215962 писал(а):
Для вящей полноты изложения - да. Но с практической точки зрения

-- вот с практической точки зрения нужна именно полнота. Если, конечно, она не требует жертв (тут ни разу не требует). Просто для того, чтоб свободно выбирать нужный ракурс, не задумываясь об его обоснованности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 19:45 


12/05/07
306
г. Уфа
Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):
Есть два способа определить линейно зависимую систему векторов. 1) и 2).
У меня они встречают линейную зависимость дважды. Один раз в первом семестре в курсе аналитической геометрии, второй раз во втором семестре в курсе линейной алгебры. Это физики, основной поток. Есть ещё инженерные потоки, где оба предмета ужаты вдвое и втиснуты в один семестр. Там вообще невозможно говорить, что им можно что-то по-нормальному дать. Поэтому буду говорить про поток физиков.

И в курсе ангема (сокр. от аналитическая геометрия) и в курсе линейной алгебры определение линейной зависимости даю в варианте 2), то есть $\exists$ НЛК $=0$. В ангеме сразу после определения разбираю три случая: система из одного вектора, система из двух векторов, система из трёх векторов. В первом случае ЛЗ равнозначна занулению вектора, во втором - параллельности двух векторов (слово коллинеарность тоже произношу и разъясняю смысл приставки ко), в третьем ЛЗ равнозначна параллельности трёх векторов одной плоскости (компланарность, и та же приставка ко).

Дальше перехожу к случаю четырех и более векторов и говорю, что в нашем обычном повседневном пространстве такие системы векторов всегда ЛЗ и подчеркиваю, что это указывает на его трёхмерность. Хотя понятия размерности формально ещё нет, воспринимается нормально, поскольку слова 2D, 3D сейчас всем знакомы с младенчества. Для четырех векторов доказываю при помощи рисунка. Случай пяти и более векторов свожу к случаю четырёх векторов при помощи леммы о том, что система, имеющая ЛЗ подсистему, сама ЛЗ.

В курсе линейной алгебры повторяю определение в варианте 2), то есть $\exists$ НЛК $=0$. Потом говорю, что у понятия ЛЗ (и ЛНЗ) есть пять свойств простых и шестое сложное. Пять свойств перечисляю и каждое тут же по ходу перечисления доказываю. Шестое - это теорема Штейница. Её привожу без доказательства. Хотя в былые дореформенные времена (и в 90-ые тоже), когда часов на предмет было по лекциям в полтора раза больше, теорему Штейница доказывал.
Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):
Как Вы даете определение линейной независимости? Есть ли у студентов трудности с усвоением этого понятия?
С понятием линейной независимости всегда бывают сложности. Сразу после формулировки свойства ЛЗ прошу попробовать самим сформулировать прямо противоположное свойство. В лучшем случае слышу $\nexists$ НЛК $=0$. Дальше говорю, что это правильная, но по опыту неудобная для применения формулировка. Излагаю свою версию.

Главная трудность в усвоении всего - отсутствие мотивации. Ну вот буду я это учить, а что мне за это будет? Этот вопрос висит в аудиториях. Ответа на него нет. Уфа - миллионный город. Но рабочих мест, где востребована математика или физика, он массово не порождает. Такова структура экономики. Лучшие школьники уезжают в столичные регионы. Перед глазами нет примеров молодых успешных и независимых людей. В академических институтах и ВУЗах - засилие стариков и традиция решать все вопросы по знакомству, через родственные связи, влиятельные рекомендации. Ну вот буду я это учить, а что мне за это будет? Ничего не будет. Всё останется как есть. Поставят тебе пятёрку. Радуйся хоть этому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4599
Ruslan_Sharipov
За содержательную часть ответа спасибо. Насчет "что мне за это будет" - вопрос отдельный, к данному топику слабо относящийся. Его можно обсудить в отдельной теме, а здесь давайте не разводить оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как Вы читаете линейную алгебру?
Сообщение12.05.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19800
Уфа
ewert в сообщении #1216010 писал(а):
Это уже хоть сколько-то естественным образом в понятие линейной независимости не укладывается.
Почему не укладывается? (Надеюсь, это ещё достаточно близко к вопросу темы, так что оставлю тут и даже не уберу в спойлер.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: madschumacher


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group