Теория поверхностей: кто ошибается?

[Sender]

Не могу представить, как на такой поверхности ввести изотермические координаты. Три главных направления видны невооружённым глазом и пересекаются в центре под равными углами.

[Munin]

Sender
То есть центр-таки омбилическая точка?

[Sender]

Полагаю, да. Аргумент, основанный на симметрии, выглядит вполне убедительно.

[Munin]

Тогда поверхность post1028240.html#p1028240 нарушает теорему и не является поверхностью постоянной средней кривизны, так?

[Sender]

Не совсем. Она является поверхностью постоянной средней кривизны, но нарушает теорему.
Кстати, нашёл в английской вики упоминание триундулоидов:

и даже K-ноидов:

[svv]

Убедительно. Но где же ошибка

Неужели Новиков с Таймановым ошибаются?:

Цитата:

Теорема 4.7. В окрестности любой точки гладкой поверхности можно ввести конформные координаты $x$ и $y$, т.е. такие координаты, что

$$dl^2=g(x, y)(dx^2+dy^2).$$

Современные геометрические структуры и поля, параграф 4.4, пункт 1 «Существование конформного параметра».

[Sender]

У меня сомнения вызывает не существование локально изотермических координат, а изотермичность всей поверхности целиком, т.е. линии кривизны не образуют изотермическую координатную сеть.

-- Вс июн 28, 2015 19:31:06 --

Хм, похоже, в случае минимальных поверхностей изотермическая сеть представляет собой асимптотическую сеть и существует лишь в случае, если средняя кривизна равна нулю.
https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_curve
https://books.google.ru/books?id=xdoFCAAAQBAJ&pg=PA330&dq=isothermal+net&hl=ru&sa=X&ei=bCCQVY21Bcn8ygOvqLaoDw&ved=0CBwQ6AEwAA#v=onepage&q=isothermal%20net&f=false

[svv]

Здесь я опирался на статью из Математической энциклопедии:


-- Вс июн 28, 2015 20:16:14 --
Вторая Ваша ссылка — как раз перевод этой энциклопедии на английский.

[Sender]

Открыл учебник Погорелова "Дифференциальная геометрия" и вижу, что там случай омбилической точки прямо исключён из условия соответствующей теоремы:

[svv]

Остается понять, где ошибка в рассуждениях К. Белова, которые привели его к промежуточному выводу в доказательстве:

Цитата:

... (6) имеет место всюду на поверхности, и она, следовательно, является изотермической [3].

Если поверхность изотермическая (включая предполагаемые омбилические точки), то всё получается, но, похоже, Вы правы, именно это и неверно. (Белов делает оговорку насчёт этих точек, давая понять, что он о них осведомлён, но они ему не мешают. )
Здесь источник [3] — это
Каган В.Ф. Основы теории поверхностей, II.

[Sender]

Понятно, почему они ему не мешают - он пользуется непрерывностью функции $\frac{\partial^2 \alpha }{\partial z \partial \bar{z}}$.
Не уверен, что она, вообще говоря, имеет место в омбилических точках.

-- Пн июн 29, 2015 09:44:01 --

Собственно, в центральной точке приведённого триундулоида(или любой другой поверхности с соответствующей осевой симметрией) даже $\alpha$ терпит разрыв, на мой взгляд.
По определению $\alpha$ —удвоенный угол между главным направлением на поверхности и осью $x$. Как бы мы ни провели ось $x$ в омбилической точке, в любой её окрестности найдутся точки, в которых главные направления различаются достаточно сильно.

[v_n]

Например здесь [url]arxiv.org/pdf/1005.2744[/url] (Статью читать не обязательно) первая фраза статьи

Цитата:

It is well-known that any constant mean curvature (CMC) surface in Euclidean 3-space
$R^3$ can be parameterized in conformal curvature line coordinates away from umbilics, and
such a parameterization is called isothermic.

Так что, если найти строгое доказательство этого широко известного утверждения, то вопрос будет закрыт.
ТС прав и омбилические точки существуют.

[Munin]

Вопрос всё-таки в том, какова будет форма поверхности жидкости "в кубе".

[Sender]

Куб и будет. Со скруглёнными углами и рёбрами.

[Munin]

Вы издеваетесь, я не пойму? Как именно скруглёнными?