2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 14:56 


12/06/15
4
В каждой упаковке жевательной резинки содержится вкладыш одного из 5 видов. Найти среднее число упаковок жвачки, при котором можно собрать все виды вкладышей.
Не знаю, как подойти к решению. Понятно, что среднее число упаковок - матожидание. Но какое здесь вероятностное пространство - не понимаю.
UPD: в качестве множества элементарных исходов пытаюсь рассмотреть $\Omega=\{\omega=(a_1,a_2,\dots), a_i \in \{1,...,5\}\}$ - множество последовательностей чисел от 1 до 5 (виды вкладыша). Тогда можно определить случайную величину $\xi:\Omega\to\mathbb{R}, \xi(\omega)=\min\{i:(a_1,a_2,\dots,a_i)$ содержит все виды вкладышей$\}$. И если найти плотность распределения $\xi$, то останется найти матожидание по определению. Но как расписать плотность распределения для такой случайной величины?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.06.2015, 15:00 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.06.2015, 19:28 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


KotoVas в сообщении #1026367 писал(а):
Но как расписать плотность распределения для такой случайной величины?

Для такой - никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 20:13 


26/08/11
2057
Сколько в среднем покупок надо сделать до первого успеха? (Успехом называем покупку нового продукта - которого еще нет в коллекции).
А до второго, ...а до пятого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 21:07 


12/06/15
4
До первого успеха нужна одна покупка.
До второго успеха с вероятностью $\frac{4}{5}$ нужно 2 покупки, с вероятностью $\frac{4}{25}$ нужно 3 покупки, с вероятностью $\frac{4}{125}$ нужно 4 покупки и т.д. Значит, среднее число покупок для двух успехов равно $\frac{4}{5}\cdot 2+\frac{4}{25}\cdot 3+\dots+\frac{4}{5^{n-1}}\cdot n+\dots=4\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n}{5^{n-1}}=\frac{9}{16}\cdot 4=\frac{9}{4}.$
Эти рассуждения верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вы считаете число покупок от начала, или от предыдущего успеха? Первый способ неудобен, так как далее место успеха меняется!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 21:35 


12/06/15
4
До третьего успеха с вероятностью $\frac{3}{5}$ нужна $\frac{9}{4}+1$ покупка (это как 1.5 землекопа. На прошлом шаге нужно было округлять?), с вероятностью $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}$ нужно $\frac{9}{4}+2$ покупки и т.д. Значит, среднее число покупок для трёх успехов равно $(\frac{9}{4}+1)\cdot \frac{3}{5}+(\frac{9}{4}+2)\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\dots=\frac{3}{5}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{9}{4}+n) (\frac{2}{5})^{n-1}=\frac{3}{5}\cdot \frac{235}{36}=\frac{47}{12}.$
Аналогично для четырёх успехов получается $\frac{77}{12}$
В итоге для пяти у меня выходит $\frac{137}{12}$. Это похоже на правду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну... Зачем так сложно? Мне кажется, легче отсчитывать покупки от предыдущего успеха.

Например, пусть в некоторый момент вы купили $k$-ый вкладыш. Тогда с вероятностью $p=\frac {k}{5}$ в очередной пачке будет старый вкладыш... Среднее число пачек будет равно $(1-p)\sum\limits_{i=1}^\infty ip^{i-1} = \frac 1{1-p}$

Осталось сложить эти величины для всех $k$ от 0 до 5

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 22:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Кстати, хорошая задача. Она имеет практическое применение: сколько надо прослушать песен, прежде чем их случайный равномерный выбор плеером покроет весь обширнейший список из \scalebox{3}{$N$} (их действительно много) штук? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение12.06.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
arseniiv

(Оффтоп)

$N\cdot H_N$, используется отрезок гармонического ряда

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теорверу
Сообщение13.06.2015, 03:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_co ... 's_problem

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group