2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение11.06.2015, 02:09 


16/02/13
49
illuminates, Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$? Гомеоморфизм устанавливается просто. А вообще, диффеоморфизм здесь есть прямое следствие более общей теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение12.06.2015, 20:21 


22/06/12
417
Munin в сообщении #1025665 писал(а):
А процитированная вами формула
Цитата:

$$\begin{bmatrix}
SO(n-1) & 0 \\
0 & 1 
\end{bmatrix} \subset SO(n)$$ что значит?

Xaositect по этому поводу сказал, что "$SO(n)$ состоит из матриц размера $n$. $SO(n-1)$ состоит из матриц размера $n -1$. Вообще говоря они друг с другом не связаны, для того, чтобы рассматривать факторпространство, надо указать, каким именно образом мы будем элементы $SO(n-1)$ рассматривать как элементы $SO(n)$."

g______d в сообщении #1025835 писал(а):
А, действительно, какие?

Как я говорил: "Матрицы размером n на n и n-1 на n-1"

Munin в сообщении #1025665 писал(а):
illuminates в сообщении #1025638
писал(а):
Я невижу никакой разницы между изоморфизмом и взаимно однозначное соответствием (= отображением). Типа при изоморфизме должна сохранятся какая-то структура?
Типа да. Не какая-то, а любая. (Смотря, об изоморфизме каких объектов идёт речь. Если изоморфны группы - то групповая операция. Если пространства - то топология, плюс остальные геометрические структуры.)

Насколько сейчас я понял, сохранение операции будет не только при изоморфизме, а и вообще при гомоморфизме?


Munin в сообщении #1025665 писал(а):
плюс остальные геометрические структуры

А какие именно не подскажите?

Nemiroff в сообщении #1025661 писал(а):
На правах рекламы post931190.html#p931190

Спасибо!!! А есть ещё какая-нибудь, столь же крутая реклама? (позволяющая с нуля понять разные интересные штуки)
И попутный вопрос. Гомоморфизм и гомеоморфизм очень похожие штуки? Просто в первом требуется взаимо однозначное соотвествие + сохранение структуры, а во втором взаимо однозначное соотвествие + гладкость (непрерывность) отображения?

GDTD в сообщении #1025933 писал(а):
Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$?

гомоморфизм на сколько я понимаю

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение12.06.2015, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
Xaositect по этому поводу сказал, что

А я не его, я вас спрашиваю. Его ответ - это вам только подсказка.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 00:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
А какие именно не подскажите?
Какие есть. Если кроме топологии ничего не задано — то никакие. Если есть ориентация, ориентацию. Если есть метрика — метрику, и т. д.. Каких только структур вообще не бывает, хотя при желании их и гомоморфизм можно описать единообразно.

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
Насколько сейчас я понял, сохранение операции будет не только при изоморфизме, а и вообще при гомоморфизме?
Да; а изоморфизм — это гомоморфизм, к которому есть обратный.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 01:02 
Заморожен


24/06/14
358
Не будет ли проще всего доказать гомеоморфность по индукции?
Вообще, в любом случае начать следует со случая $n=3$. IMHO есть 3 пути к решению этой задачи: 1) строгий, но требующей некоторой предварительной подготовки по теории групп; 2) нестрогий, наглядно-геометрический; 3) индукция. Т.е. illuminates IMHO прав насчет того, что базовых знаний из линала и аналитической геометрии не совсем хватает для таких задач: 2-й способ не тянет на полноценное док-во, 3-й работает далеко не всегда.
Я эту задачу решал и вроде как справился, но разрешается ли написать решение?
illuminates гладкость Вам в этой задача не нужна, только взаимно-однозначное соответствие (я бы назвал это естественным отождествлением, как говорят в топологии).

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 01:33 


16/02/13
49
illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
GDTD в сообщении #1025933 писал(а):
Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$?

гомоморфизм на сколько я понимаю


Неправильно понимаете. Во-первых, Вам уже писали, что $SO(n-1)\subset SO(n)$ не является нормальной подгруппой. Во-вторых, $S^{n-1}$, вообще говоря, не имеет групповой структуры, поэтому о гомоморфизме речи быть не может. За $SO(n)/SO(n-1)$ здесь обозначено пространство орбит.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 01:48 
Заморожен


24/06/14
358
GDTD
На самом деле в задаче требовалось только установить гомеоморфизм.
Но раз уж речь пошла о гомоморфизмах и изоморфизмах, то у меня возник другой вопрос. Сфера $S^2$ групповой структурой не снабжена, но является 2-х мерным многообразием; в то же время структурой многообразия снабжен смежный класс $SO(3)/SO(2)$. Эти множества можно считать изоморфными как многообразия? (Или как правильно определить изоморфизм многообразий?).
Вроде с геометрической точки зрения вполне мотивированный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 01:55 


16/02/13
49
Kirill_Sal в сообщении #1026605 писал(а):
GDTD
На самом деле в задаче требовалось только установить гомеоморфизм.
структурой многообразия снабжен смежный класс $SO(3)/SO(2)$.
Смежный класс - это мне многообразие, это подмножество группы.

Цитата:
Эти множества можно считать гомоморфными как многообразия? (Или как правильно определить гомоморфизм многообразий?).
Вроде с геометрической точки зрения вполне мотивированный вопрос.
Какой гомоморфизм? О нем вообще речи быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 01:58 
Заморожен


24/06/14
358
GDTD
Ну так, а группы Ли не снабжены структурой многообразия разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 02:13 


16/02/13
49
Kirill_Sal в сообщении #1026608 писал(а):
GDTD
Ну так, а группы Ли не снабжены структурой многообразия разве?
Снабжены. Но где Вы группу ли здесь увидели (кроме $SO(n)$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответств
Сообщение13.06.2015, 02:19 
Заморожен


24/06/14
358
GDTD
Да, понял. Я совершенно неправильно подумал, что смежный класс - подмногообразие.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 04:02 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
Гомоморфизм и гомеоморфизм очень похожие штуки? Просто в первом требуется взаимо однозначное соотвествие + сохранение структуры, а во втором взаимо однозначное соотвествие + гладкость (непрерывность) отображения?
Не гомоморфизм, а изоморфизм. Для гомоморфизма взаимная однозначность не нужна. Гомоморфизм сохраняет операцию (к примеру, групповую). Групповой изоморфизм (так уж сложилось, что конкретно слово изоморфизм используют в разных местах, поэтому отдельно пишу "групповой") сохраняет операцию и взаимно однозначен.
Гомеоморфизм сохраняет топологические свойства. Наверное, можно об этом думать так: гомоморфизм применим к алгебраическим структурам и сохраняет, соответственно, алгебраическую структуру множества — операции; гомеоморфизм применим к топологическим пространствам и сохраняет геометрию множества (причем взаимно однозначно).
Гомеоморфизм он (несмотря на названия) скорее должен быть отождествлён в голове с изоморфизмом, а не с гомоморфизмом.
illuminates в сообщении #1026476 писал(а):
А есть ещё какая-нибудь, столь же крутая реклама? (позволяющая с нуля понять разные интересные штуки)
Спасибо на добром слове. Зависит от штуки. Вы попользуйтесь поиском, тут многие интересные дядьки (и девушки :roll: ) много умных и интересных вещей писали.

(Оффтоп)

В своё время запоминал страшные слова (для функций) вот так:
Nemiroff в сообщении #942581 писал(а):
$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 10:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
А как вводятся координаты на фактор-пространстве группы Ли по её подгруппе в общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
В общем случае там может быть все плохо, насколько я помню. Если подгруппа хорошая (компактная, например), то мы можем выбрать локальные координаты так, чтобы часть координат шла "вдоль орбиты", т.е. $x = gy$ на карте тогда и только тогда, когда $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \dots, x_{k} = y_{k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать взаимно однозначное соответствие
Сообщение13.06.2015, 11:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Xaositect
Ссылку не дадите?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group