2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Пожалуйста, помогите со следующими вопросами.

1) Справедлива ли для комплексных функций (из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$) формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме?

2) Справедлива ли для комплексных функций теорема Фубини или какой-либо её аналог о перестановке интегралов?

3) Вводится ли понятие производной Фреше для нелинейных операторов в комплексных банаховых пространствах?

Понимаю, что вопросы простые и скорее всего ответ утвердительный на все три, но не могу найти литературу, где бы это излагалось. Везде требуется, чтобы функции или пространства были вещественные. Буду очень рад, если кто-нибудь даст ссылку на литературу хотя бы по одному из этих пунктов.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 15:28 


13/07/10
106
Mikhail_K
1) Да.
2) Дело не в функции, а в переменной интегрирования.
3) Не знаю. Думаю, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 15:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Mikhail_K в сообщении #1025229 писал(а):
3) Вводится ли понятие производной Фреше для нелинейных операторов в комплексных банаховых пространствах?

Да, конечно. Да и так видно, что препятствий нет никаких. Более того, при желании можно определить голоморфность в таких пространствах.

Из достаточно старых источников, помнится, было у Хилле - Иосиды, поновее чего, увы, не назову, давно в ту степь не лазила.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
DiMath, мне бы ссылку на литературу, где приводится и доказывается формула Тейлора с интегральным остаточным членом для комплексных функций.

И про переменную интегрирования в пункте 2 - можно подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 17:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Mikhail_K в сообщении #1025288 писал(а):
где приводится и доказывается формула Тейлора с интегральным остаточным членом для комплексных функций.

Зачем Вам ссылка, на такое не ссылаются. Результат очевидно воспроизводится прямым переносом с вещественного случая. Единственно, что нужно, - чтобы интеграл такого сорта, как в остаточном члене, был определен однозначно, то есть не зависел от пути интегрирования. Для этого за глаза хватит аналитичности функции в некотором круге, содержащем концы отрезка интегрирования.
Mikhail_K в сообщении #1025288 писал(а):
И про переменную интегрирования в пункте 2 - можно подробнее?

Вы лучше напишите, какого вида интегралы Вы переставляете. Фубини тут явно ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Otta в сообщении #1025307 писал(а):
Вы лучше напишите, какого вида интегралы Вы переставляете. Фубини тут явно ни при чем.

Сформулирую так.
При каких наиболее общих условиях на контуры $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ (хотелось бы, чтобы допускались очень плохие, например несвязные и состоящие из счётного множества связных контуров, из которых некоторые замкнутые, а некоторые уходят в бесконечность) и на функцию $f$ справедливо равенство
$$
\int\limits_{\Gamma_1} \biggl( \int\limits_{\Gamma_2} f(z_1,z_2) dz_2 \biggr) dz_1 = \int\limits_{\Gamma_2} \biggl( \int\limits_{\Gamma_1} f(z_1,z_2) dz_1 \biggr) dz_2?
$$

(интеграл по контуру из счётного множества подконтуров понимается как сумма соответствующего ряда из интегралов по этим контурам... ладно, если это я слишком загнул, пусть будут контуры получше. Мне надо знать как можно более общие условия, при которых равенство верно.)

Спасибо за ответы выше!

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 19:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mikhail_K в сообщении #1025341 писал(а):
При каких наиболее общих условиях на контуры $\Gamma_1$, $\Gamma_2$

Грубо говоря, ни при каких. В том смысле, что в содержательных случаях эти интегралы именно что не совпадают, и вот как раз разница между ними практически и важна. А когда её нет -- так это тривиально и никому не нужно.

Mikhail_K в сообщении #1025229 писал(а):
3) Вводится ли понятие производной Фреше для нелинейных операторов в комплексных банаховых пространствах?

Более того: только она там чаще всего и вводится, комплексность ей безразлична.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Цитата:
Грубо говоря, ни при каких. В том смысле, что в содержательных случаях эти интегралы именно что не совпадают, и вот как раз разница между ними практически и важна. А когда её нет -- так это тривиально и никому не нужно.

Это для меня новость... опять же, где можно об этом прочитать?
Ну, не только про факт несовпадения, хотелось бы что-то конструктивное всё-таки..

-- 09.06.2015, 20:19 --

Кто-нибудь скажите мне, ewert говорит правду или лжёт? Где это написано?
Вот передо мной статьи уважаемых авторов, опубликованные в ВАКовском журнале. Там есть фраза насчёт повторных интегралов, таких как я привёл выше: интеграл абсолютно сходится, поэтому изменим порядок интегрирования. Я поэтому и вспомнил про Фубини. Фраза эта встречается не раз и не два.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 21:01 


13/07/10
106
Mikhail_K Вы ставите под сомнения слова заслуженного участника? :D
Если речь про несобственный интеграл, который еще и абсолютно сходится.. По хорошему, Вам нужна абсолютная сходимость обеих интегралов, тогда Вы можете изменить порядок интегрирования. Но это к Вашему вопросу никакого отношения не имеет. Теорема Фубини говорит о переходе от кратного интеграла к повторному.
В конце-то концов, сведите Ваш интеграл к интегралу второго рода, и получите два интеграла (от вещественной и мнимой части), каждый из них будет от вещественной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Почему же не имеет?
При каких условиях я могу менять местами два комплексных интеграла?
Разумеется, эти комплексные интегралы могут быть (или не быть) несобственными (т.е. по бесконечным контурам) и абсолютно сходящимися. Вот я и спрашиваю: при каких условиях?

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 21:08 


13/07/10
106
Mikhail_K Ага.
Что Вы понимаете, под "комплексным" интегралов?

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 21:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Mikhail_K)

Mikhail_K в сообщении #1025359 писал(а):
Кто-нибудь скажите мне, ewert говорит правду или лжёт?
Есть такая штука как дипломатия (одно из значений по Викисловарю — «избегание прямых столкновений при достижении собственных целей»). Например, Вы можете спросить ewerta: «А как относиться к таким-то словам уважаемых авторов в солидном журнале?» Конечно, можно сказать и «Вы лжец!», но пользы от такого стиля будет меньше. Обычно ewert говорит полезные вещи. Разумеется, он может ошибаться, как и любой другой человек.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Mikhail_K
Одной теоремы на все случаи жизни жизни здесь не сформулируешь. Напишите конкретные интегралы и мы постараемся помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
ewert, svv, сто раз меня извините, если я кого-нибудь здесь задел. Ну такой у меня стиль разговора. Кстати, лжецом я никого не назвал. Но мне интересно разобраться в вопросе.
DiMath, под "комплексными" интегралами я понимаю то, что написал выше. Интегралы от комплекснозначных функций комплексного аргумента по контурам на комплексной плоскости.

-- 09.06.2015, 22:21 --

ex-math, ну хоть какие-нибудь теоремы, пусть не на все случаи жизни. О перестановке порядка интегрирования в повторных интегралах от комплексных функций по контурам на комплексной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: В комплексном случае
Сообщение09.06.2015, 22:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mikhail_K в сообщении #1025359 писал(а):
интеграл абсолютно сходится, поэтому изменим порядок интегрирования.

В "комплексной области" абсолютная сходимость криволинейных интегралов интересна крайне редко. Зато крайне интересно, какие особые точки попадают внутрь контура, а какие нет. И вот тут-то перестановка контуров и бывает принципиальной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group