2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение06.06.2015, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Мотивация)

Мотивация посмотреть литературу по $ABC$-гипотезе была следующая. Я задумался ненадолго, каким могло бы быть обобщение этой гипотезы для случая нескольких слагаемых. Не догадавшись даже, в какую сторону думать, попытался найти ответ в сети. И я не только нашёл ответ, но и обнаружил, что многие статьи по теме написаны практически в развлекательной научно-популярной манере, к тому же содержат интересные гипотезы и их эмпирические обоснования. Речь об этом пойдёт в нескольких сообщениях этой темы.

1. Случай нескольких слагаемых.
Соответствующая гипотеза была выдвинута в этой работе. Формулируется гипотеза довольно просто, если догадаться перейти к другим обозначениям.

Перепишем стандартную гипотезу в следующей эквивалентной формулировке (для уравнения из $n=3$ целочисленных слагаемых: $a+b+c=0$, где $\mathrm{gcd}(a,b,c)=1$):
Пусть $L_3 (a,b,c) =\dfrac{\ln \max(|a|,|b|,|c|)}{\ln \mathrm{rad}(abc)}$, $\{L_3\}$ -- множество всех возможных $L_3(a,b,c)$, а $\mathrm{rad}(abc)$ -- радикал числа $abc$. В этих обозначениях стандартная $abc$-гипотеза имеет вид:
$$
\lim\sup\, \{L_3\}=1.
$$
Здесь $\lim\sup \, \{L_3\}$ -- наибольшая предельная точка мнжества $\{L_3\}$.

Тогда гипотеза для $n\ge 3$ слагаемых при аналогичных условиях и обозначениях примет вид:
$$
\lim\sup\,  \{L_n\}=2n-5.
$$
UPD. При построении аналогии важно, чтобы в рассматриваемом уравнении из нескольких слагаемых $a+b+...+m=0$ не было равных нулю подсумм с меньшим числом слагаемых.
В упомянутой работе доказана оценка снизу.

(Оффтоп)

Вот это $2n-5$ меня просто убивает. И почему не $11n-2^5?$ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение07.06.2015, 02:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Приведём несколько фактов, имеющих простые формулировки и так или иначе относящихся к гипотезе.

2. Гипотеза Дресслера (Dressler's Conjecture).
Пусть для натуральных $a<b$ выполнено $\mathrm{rad}(a)=\mathrm{rad}(b)$. Тогда существует простое $p$ такое, что $a<p<b$.
Гипотеза Дресслера может быть выведена из $abc$-гипотезы и была проверена для всех $a,b$ меньших $7\cdot 10^{13}$ (1999 г.).

3. Предельные точки множества $\{L_3\}$ (см. обозначения п.1) заполняют по меньшей мере отрезок $[1/3; 36/37]$.

4. Следствием $abc$-гипотезы является большое количество утверждений, касающихся диофантовых уравнений. Например: для любого $k\in \mathbb N$ уравнение $x^p-y^q=k$ имеет не более чем конечное число решений $(x,y,p,q)$ в натуральных числах ($x,y,p,q \ge 2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение07.06.2015, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
5. Одна из проблем Эрдёша. Пусть $P(m)$ есть наибольший простой делитель числа $m\ge 2$. Гипотеза, что $\frac{P(2^n-1)}n \to \infty, n\to \infty ,$ выводится из $abc$-гипотезы, но на сегодня она уже доказана другими путями (C.L. Stewart, 2012).

6. Непаханое поле деятельности остаётся в гипотезах следующего типа. Существуют ли такие $x,y \in \mathbb N$, что одновременно $\mathrm{rad}(x)=\mathrm{rad}(y)$, $\mathrm{rad}(x+1)=\mathrm{rad}(y+1)$ и $\mathrm{rad}(x+2)=\mathrm{rad}(y+2)?$

7. Для целостности популярной картины добавлю полезную ссылку на сборник результатов. По теории там не всё и, похоже, не пополняется, а ссылки на вычислительные достижения достаточно свежие.

8. Про эти самые вычислительные достижения хочется сказать пару слов отдельно. Здесь всё ещё есть надежда найти какие-то ключевые закономерности эмпирическим путём. И эти надежды не беспочвенны -- достаточно посмотреть как "просто" в работе из п.1 (см. ссылку там) была обнаружена одна из таких закономерностей и скопом получены рекорды, которые на то время не нашли ещё методом перебора.

9. Интересный обзор по теме можно найти в книге "Mathematics in the 21st Century. 6th World Conference, Lahore, March 2013". (Я находил её в сети в режиме ознакомления.)

PS. Остановлюсь, пожалуй, волевым усилием. В теме никак не затрагивалась широко известная история доказательства $abc$-гипотезы -- по понятным причинам -- с этим проще ознакомиться в сети.

 Профиль  
                  
 
 Re: NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение09.06.2015, 00:17 


09/06/15
9
Можно у Вас попросить, если конечно Вы в курсе, немного рассказать, на какой стадии проверка работы японца и что за мат. аппарат такой у него, что навел столько шума среди профессионалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение09.06.2015, 03:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Izya oo
Я не смогу профессионально ответить на Ваши вопросы. Всё же цель этой темы была осветить сколько-то интересные задачи из разных источников, которые (за небольшим исключением) не освещены в Википедиях или на MathWorld.

А что касается нашумевшего доказательства S. Mochizuki, информации в сети по нему вполне достаточно (у меня нет других источников). Я бы посоветовал Вам посмотреть его оригинальные отчёты о развитии своей теории: здесь свежий отчёт за 2014 год попытайтесь посмотреть там пару страниц, начиная с 10й. Вы заметите, что S. Mochizuki сложно упрекнуть в неспособности трезво оценить ситуацию вокруг своих теорий. Там несложный английский и не требуется понимание математических тонкостей (хотя и не помешает).
На русском могу посоветовать переводную статью на Хабре, ссылка на которую дана в рувики.

 Профиль  
                  
 
 Re: NT. Обсуждение некоторых результатов по $ABC$-гипотезе
Сообщение14.06.2015, 02:06 


09/06/15
9
Спасибо Вам огромное!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group