Проверить -- есть ли ортогональные траектории среди семейства кривых.
![$x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))=C$ $x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))=C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/c/a5c8e51aa292be8ccbaf3c6b3f5e660b82.png)
![$x^2-y^2+\ln(\sin(2xy))=C$ $x^2-y^2+\ln(\sin(2xy))=C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/c/9ac1c645a4ef02a829c031b824010c3582.png)
Вообще, может я криво перевел, но задача на испанском формулируется так:
Probar que son ortogonales las siguientes familias de curvas.
Я понимаю, что у ортогональной траектории угловой коэффициент равен
![$y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$ $y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/080fa7e23218d25f1840a9dd13717da182.png)
Правильно ли я понимаю, что из первого семейства нужно выудить
![$y'$ $y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/f/15f93b25ba881e5829e8fc647b680fb282.png)
(через производную функции, заданной неявно), а потом из второго семейства выудить
![$y'$ $y'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/f/15f93b25ba881e5829e8fc647b680fb282.png)
и проверить будет ли выполняться равенство
![$y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$ $y_1'=-\dfrac{1}{y_2'}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/080fa7e23218d25f1840a9dd13717da182.png)
?
![$F(x,y)=x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))-C$ $F(x,y)=x^2-y^2+\ln(\cos(2xy))-C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5de9c41b7642418916765b1f89c7387882.png)
![$y'=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$ $y'=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/6/c86b26995aa3e9165ad42529b260223482.png)
Правильно?
2) Для семейства кривых получить семейство ортогональных кривых.
![$y = Ce^{2x+1}$ $y = Ce^{2x+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/c/31c818bdef8898dfac97f5190c639e1482.png)
.
![$y'=2Ce^{2x+1}$ $y'=2Ce^{2x+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/5/d458ea595c51af35ff96e46ba3c23af982.png)
У второго семейства должно быть так
![$y'=-\dfrac{1}{2Ce^{2x+1}}$ $y'=-\dfrac{1}{2Ce^{2x+1}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/b/5bb95eed6655e72a9a5c1a100b1a68d182.png)
, решая это дифференциальное уравнение получаем семейство ортогональных кривых, правильно?