2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение26.06.2015, 18:28 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):
Мы имеем асимптотически плоское пространство-время, если при $r \to \infty$ и конечных $t:$
$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{r}\right), \quad, \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right), \quad \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right).$$
Отсюда имеем при $r \to \infty$
$$\sqrt{-g}R=O\left(\frac{1}{r^3}\right), \quad \sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^4}\right).$$

Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.


Пока оставлю разбор с вычислением $K$. Хотелось бы обсудить данные условия на асимптотику метрических компонент.
Дело в том, что действие остается конечным не только при таких жестких ограничениях метрические компоненты, но и при более мягких:
$$\sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^{3+\sigma}}\right)$$
Скажем если получится. что $$\sqrt{-g}G \sim\frac{1}{r^{7/2}}$$

то действие также конечно. $$S_G \sim \iiint{\frac{dxdydz}{r^{7/2}}} \sim \int{\frac{dr}{{r^{3/2}}}}$$
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Можно подобрать такие функции $g_{\mu\nu}$ (при соблюдении в интервале сферической симметрии), чтобы они удовлетворяли уравнениям Гилберта-Эйнштейна в пустоте $R_{\mu\nu}=0$, и в то же время имели данную ослабленную асимптотику.
Не очень понятно жесткое ограничение, указанное в ряде работ.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение08.07.2015, 14:23 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Nirowulf fizeg SergeyGubanov

Собеседники исчезли, а хотелось бы обсудить еще несколько вопросов.

1).
Ради любопытства рассмотрел несколько вакуумных метрик вне сферически симметричного тела .
Вот например метрика Пенливе в сферических координатах:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\sqrt{\frac{r_g}{r}}cdtdr-dr^2-r^2({d\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Вот она в прямоугольных:
$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\frac{2c}{r}\sqrt{\frac{r_g}{r}}dt(xdx+ydy+zdz)-dx^2-dy^2-dz^2$$

Оказалось (посчитал программкой), что усеченное действие в точности ноль: $$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})=0$$


Забавно, что для при этом не требуется никаких граничных условий (если все правильно подсчитано).

2)
Второй вопрос касается единственности решения , если одна из границ четко не определена.
Скажем в классической одномерной вариационной задаче:
$$I=\int_a^b{F(y,y',x)dx}$$

Если верхний предел неопределен $b=\infty $ решается ли такая задача однозначно?
Понятие бесконечность весьма размыто. В ОТО второе граничное условие означает, что для островной задачи на бесконечности метрика должна перейти
в метрику Минковского , которая записывается в галилеевых координатах или в сферических.

Но , как выясняется среди бесконечного числа метрик , которые удовлетворяют этому, выбирают только те, которые удовлетворяют
определенной асимптотики.
Почему такая жесткость? Если взять скажем $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right)$
И если при этом получается конечная величина усеченного действия?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение13.07.2015, 20:46 


30/05/13
253
СПб
schekn в сообщении #1031317 писал(а):
Можно подобрать такие функции $g_{\mu\nu}$ (при соблюдении в интервале сферической симметрии), чтобы они удовлетворяли уравнениям Гилберта-Эйнштейна в пустоте $R_{\mu\nu}=0$, и в то же время имели данную ослабленную асимптотику.
Не очень понятно жесткое ограничение, указанное в ряде работ.

schekn в сообщении #1034658 писал(а):
Почему такая жесткость? Если взять скажем $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right)$
И если при этом получается конечная величина усеченного действия?

Потому что вы не получаете ньютоновскую асимптотику для тяготения, которая имеет место в нерелятивистком случае. Это экспериментальный факт, от которого никуда не деться.

В предлагаемом же вами случае пространственный интеграл в действии ещё и просто расходится. Вообще, если взять асимптотику
$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left( \frac{1}{r^\alpha} \right), \quad \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O \left( \frac{1}{r^{1+\alpha}}\right),$$
то при $\alpha \le 1/2$ интеграл действия разойдётся.

schekn в сообщении #1034658 писал(а):
1).
Ради любопытства рассмотрел несколько вакуумных метрик вне сферически симметричного тела .
Вот например метрика Пенливе в сферических координатах:

$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\sqrt{\frac{r_g}{r}}cdtdr-dr^2-r^2({d\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

Вот она в прямоугольных:
$$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2+\frac{2c}{r}\sqrt{\frac{r_g}{r}}dt(xdx+ydy+zdz)-dx^2-dy^2-dz^2$$

Оказалось (посчитал программкой), что усеченное действие в точности ноль: $$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})=0$$


Забавно, что для при этом не требуется никаких граничных условий (если все правильно подсчитано).

У меня что-то не получилось воспроизвести ваш результат для усечённого лагранжиана в случае координат Пенлеве-Гулстранда.

В любом случае преобразования от координат Шварцшильда к координатам Пенлеве-Гулстранда являются недопустимыми, так как не обладают подходящей асимптотикой при больших $r.$

Условие асимптотической плоскостности пространства не ограничивает координатные преобразования
$$x'^\mu=f^\mu (x)$$
в конечной области, но при $r \to \infty$ функции $f^\mu(x)$ должны вести себя следующим образом
$$f^\mu (x) =\Lambda^\mu_{\phantom{\mu} \nu}x^\nu+a^\mu+O\left( \frac{1}{r^2}\right),$$
где $\Lambda^\mu_{\phantom{\mu} \nu} -$ матрица преобразований Лоренца, а $a^\mu -$ произвольный постоянный вектор. Преобразование
$$T=t \mp \left(2r_g \arctg{\sqrt{\frac{r_g}{r}}}-2\sqrt{r_g r} \right)$$
от координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение14.07.2015, 09:47 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
schekn в сообщении #1034658 писал(а):
Потому что вы не получаете ньютоновскую асимптотику для тяготения, которая имеет место в нерелятивистком случае. Это экспериментальный факт, от которого никуда не деться.

Здесь я немного накосячил. Я позже приведу корректную асимптотику, когда и действие не расходится и условие перехода к ньютоновской теории выполняется на бесконечности. Я не из дома и Мне тут не с руки писать формулы.

-- 14.07.2015, 09:55 --

Nirowulf в сообщении #1036751 писал(а):
координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

Этого всего я не понял. Во первых, сам Шварцшильд в указанных стандартных координатах не обладает нужной асимптотикой. Его надо написать в прямоугольных координатах.
Во-вторых , почему я должен брать в качестве "базовой" метрики именно Шварцшильда, от которого мы потом пляшем? Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Почему это она не обладают нужной асимптотикой? Очень даже обладает.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение14.07.2015, 13:45 


30/05/13
253
СПб
schekn в сообщении #1036892 писал(а):
Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Для Шварцшильда и в обычных и в изотропных координатах у меня всё совпало с вашими результатами, а вот с Пенлеве-Гулстрандом не получилось. Хорошо бы, если ещё кто-нибудь бы проверил.

schekn в сообщении #1036892 писал(а):
Этого всего я не понял. Во первых, сам Шварцшильд в указанных стандартных координатах не обладает нужной асимптотикой. Его надо написать в прямоугольных координатах.
Во-вторых , почему я должен брать в качестве "базовой" метрики именно Шварцшильда, от которого мы потом пляшем? Если взять именно Пенлеве и подставить в усеченный лагранжиан, то получится ноль ( может программа у меня глючит, но я проверил несколько раз).

Да, я немного забылся. Надо написать преобразование от метрики Шварцшильда в изотропных координатах к Пенлеве-Гулстранду в прямоугольных координатах. Есть шанс, что это преобразование не будет иметь нужного асимптотического поведения при больших $r.$

Пойнт в том, что функция Лагранжа
$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$
является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение14.07.2015, 14:58 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):
является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$


Ну предположим. (Как дополнительное условие).
Но ведь r - это координата. Она для каждой метрики своя и определяется как: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
, а $x,y,z $- свои координаты для Шварцшильда и для Пенлеве. Если запрещается использовать для расчетов метрику Пенлеве, то Сергей Губанов расстроится, это его любимая метрика.
Кстати Шварцшильда не обязательно переводить в изотропный вид. Можно просто сферические координаты переписать в прямоугольные . Просто вид будем громоздкий и появятся перекрестные члены так, что расчеты будут неудобными ( у меня комп даже виснет на них).

-- 14.07.2015, 15:17 --

Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):
Хорошо бы, если ещё кто-нибудь бы проверил.

Вот прямая метрика Пенлеве в координатах $t,x,y,z$ :
$
\begin{pmatrix}{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right)  & \frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & \frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & \frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}}\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & -1 & 0 & 0\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & 0 & -1 & 0\cr \frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}} & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

Определитель $g=-c^2$
Вот обратная:

$\begin{pmatrix}-\frac{1}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,x}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,y}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}} & -\frac{{c}^{2}\,rg\,y\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) }\cr -\frac{c\,\sqrt{rg}\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{4}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,x\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & -\frac{{c}^{2}\,rg\,y\,z}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}\,\left( -{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right) } & \frac{{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) +\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}+\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}{-{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}}}\right) -\frac{{c}^{2}\,rg\,{z}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{y}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}-\frac{{c}^{2}\,rg\,{x}^{2}}{{\left( {z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}}\end{pmatrix}$

Не влезла.

Тензор Риччи 0, проверил. $G$ также нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение14.07.2015, 15:30 


30/05/13
253
СПб
schekn в сообщении #1036941 писал(а):
Если запрещается использовать для расчетов метрику Пенлеве, то Сергей Губанов расстроится, это его любимая метрика.

Никто не запрещает использовать те или иные координаты. Просто координатные преобразования ограничены условием асимптотической плоскостности.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение16.07.2015, 23:46 


30/05/13
253
СПб
schekn в сообщении #1036941 писал(а):
Тензор Риччи 0, проверил. $G$ также нулевой.

В общем, как-то я криво вбивал эту метрику в свою программу. Теперь же всё получилось, тоже получил нуль для усечённого лагранжиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение20.07.2015, 22:30 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Nirowulf в сообщении #1036921 писал(а):
Пойнт в том, что функция Лагранжа
$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$
является инвариантной только по отношению к преобразованиям с правильным асимптотическим поведением при больших $r.$

Вот два асимптотических условия на метрические компоненты.

Изображение

Первая общепринятая, которая фигурирует у Вас, вторую предложили Денисов-Соловьев ($n_{i}=\frac{x_{i}}{r}$).
http://www.mathnet.ru/links/b5e73ca4fe8 ... mf2215.pdf

Они утверждают, что преобразования , которые не меняют асимптотическое поведение компонент (2) также имеют инвариант :
$$\int d^3x \sqrt{-g}G$$
Только он отличается от Вашего инварианта (здесь преобразования чисто пространственных координат). Не проверял, что инвариант, но верю на слово, у них есть еще статьи по теме.

Можно предположить, что для метрики Пенлеве-Гулстранда, хотя и преобразования к ним почему-то являются недопустимыми от координат Шварцшильда,
существуют множество метрик, которые будут иметь асимптотическое поведение :
$$g_{00}=1+O\left(\frac{1}{r}\right) , \quad  g_{0i}=O\left(\frac{1}{\sqrt{r}}\right), \quad g_{ii}=1+O\left(\frac{1}{r}\right)$$
и интеграл от плотности Лагранжа по 3-м координатам пространства также будет инвариантом.
При этом все основные выводы теории и переход к Ньютону будет соблюдаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение22.07.2015, 13:29 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Nirowulf в сообщении #1036751 писал(а):
Преобразование
$$T=t \mp \left(2r_g \arctg{\sqrt{\frac{r_g}{r}}}-2\sqrt{r_g r} \right)$$
от координат Шварцильда $(t,r,\theta, \varphi)$ к координатам Пенлеве-Гулстранда $(T, r, \theta, \varphi)$ не обладает нужным асимптотическим поведением.

Здесь у меня тоже другое выражение, если $T$ - нулевая координата Пенлеве, а $t$ - Шварцшильда, то преобразование такое:
$$T=t-r_g\ln{\frac{\sqrt{r}-\sqrt{r_g}}{\sqrt{r}+\sqrt{r_g}}}-2\sqrt{r_gr}$$
Но асимптотика действительно отличается от (1), используемая в литературе.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение18.08.2015, 02:04 


30/05/13
253
СПб
schekn
Прощу прощения, конечно же, я описался. Там должен стоять гиперболический арктангенс
$$T=t \mp \left( 2r_g \operatorname{arth} \sqrt{\frac{r_g}{r}}-2\sqrt{r_g r}\right).$$
Тогда с учётом формулы
$$\operatorname{arth} z=\frac{1}{2} \ln{\frac{1+z}{1-z}}$$
можно получить ваше выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение23.07.2016, 19:16 


04/01/10
165
В варианте уравнений Эйнштейна, получаемых через тождества Бьянки, появляется возможность существования ненулевого лямбда-члена. При получении их с помощью вариации скалярной кривизны (очевидно, по Гильберту), как это показано в ЛЛ2, этот член отсутствуют. Существуют ли модификации этого вариационного метода, например, введением дополнительных краевых условий, приводящие к его появлению?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение30.07.2016, 18:16 


30/05/13
253
СПб
piksel в сообщении #1139729 писал(а):
Существуют ли модификации этого вариационного метода, например, введением дополнительных краевых условий, приводящие к его появлению?


Я о таком не слышал. Знаю, что космологический член добавляют руками:
$$S_{EH}=-\frac{1}{2 \varkappa}\int d^4 x \sqrt{-g} \left(R-2\Lambda \right).$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group