2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Случайная последовательность
Сообщение31.05.2015, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
Я в случайных процессах дилетант, может кто подскажет!

Пусть $Z_i$ одинаково распределенные случайные величины с известным распределением, $-1\le Z_i\le 1$. Строим случайную последовательность следующим образом: $X_1=0$ и
$$
X_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
X_i+Z_i,&X_i+Z_i>0,\\
0,&X_i+Z_i\le 0\end{array}\right.
$$
Меня интересует матожидание величин $X_i$.
Может статься, это какая-то известная штука?

Я начал так. Пусть $f_i$ -- плотность распределения $X_i$ и $f$ -- плотность распределения $Z_i$.
Вроде как $$f_2(x)=\delta(x)P(Z\le 0)+\mathbf{1}(x)f(x)$$
и
$$f_{i+1}(x)=\delta(x)P(X_i+Z\le 0)+\mathbf{1}(x)f_{X_i+Z}(x).$$
Здесь плотность суммы $f_{X_i+Z}$ выражается через свертку, $\mathbf{1}(x)$ -- характеристическая функция положительной полуоси.

Плотность $f(x)$ устроена просто: линейный рост, постоянная, линейное убывание, $f(-1)=f(1)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение01.06.2015, 03:13 
Аватара пользователя


28/07/09
1017
Вроде $P(X_n + Z > 0) = P(Z > 0)$ для любого $n$. Проверьте, в 3 ночи мог накосячить. Тогда дальше элементарно через формулу условного матожидания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение01.06.2015, 05:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
Legioner93 в сообщении #1022165 писал(а):
Вроде $P(X_n + Z > 0) = P(Z > 0)$

не, $P(X_n + Z > 0) = P(Z >-X_n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение01.06.2015, 10:07 
Аватара пользователя


28/07/09
1017
${P(X_2 + Z > 0) = P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z > 0) + P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z \leq 0)} = {P(Z + Z > 0 , Z > 0) + P(Z > 0 , Z \leq 0) = P(Z > 0)}$

$P(X_3 + Z > 0) = {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0)} = {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0, X_1 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0, X_1 + Z \leq 0)} + {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0, X_1 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0, X_1 + Z \leq 0)} = {P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z > 0, Z > 0) + P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z > 0, Z \leq 0)} + {P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z \leq 0, Z > 0) + P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z \leq 0, Z \leq 0)} = P(Z > 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение01.06.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
В выражении
Legioner93 в сообщении #1022201 писал(а):
$ P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z > 0) $

Это разные $Z$. Надо было мне точнее выражаться. Сейчас отредактирую первый пост

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение01.06.2015, 10:44 
Аватара пользователя


28/07/09
1017
alcoholist
Ну понятно. $Z_i$ -- семейство одинаково распределенных независимых с.в. И далее по тексту

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайная последовательность
Сообщение02.06.2015, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3885
Ваш процесс $X_i$ - типичный процесс времени ожидания в одноканальной системе обслуживания $X_{n+1}=\max(X_n+Z_n, \, 0)$. Собственно, в ТМО или около и надо искать результаты о поведении этого процесса. Если $Z_i$ независимы и одинаково распределены, то распределение $X_{n+1}$ такое же, как у $\overline S_n=\max\{0,\, S_1,\,\ldots,S_n\}$, где $S_k=Z_1+\ldots+Z_k$. Уже судя по этому даже матожидание просто искаться не должно. Есть формула Поллачека - Спитцера, связывающая харфункцию $\overline S_n$ с харфункциями величин $\max(0,\,S_n)$. Но из этой формулы матожиданий в общем случае не достать. Разве что для полунепрерывных сверху случайных блужданий, когда $Z_i$ целочисленны и их максимальное значение - единица. Вот тут изложено, как: topic51719.html
Или для случая, когда $Z_i$ неотрицательны, но это совсем не интересно :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group