Глобальная суперсимметрия мирового листа

[vanger]

Есть детский вопрос, возникший при чтении 4 главы "Теории суперструн" Грина, Шварца, Виттена.

Рассмотрим действие

$$ S = -\frac{1}{2\pi} \int d^2 \sigma \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu - i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right), $$

где $\psi^\mu$ -- майорановские спиноры,

$$ \rho^0 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho^1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix}, $$

$$ \bar \psi = \psi^\dagger \rho^0. $$

Утверждается, что действие инвариантно относительно следующих инфинитезимальных преобразований:

$$ \delta X^\mu = \bar \varepsilon \psi^\mu, $$ $$ \delta \psi^\mu = -i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon, $$

где $\varepsilon$ -- постоянный (не зависящий от координат на мировом листе) антикоммутирующий майорановский спинор.

У меня не получается показать инвариантность. Подскажите, где я ошибаюсь.

$$ \delta \left( \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha X_\mu \right) = 2 \partial_\alpha X^\mu \partial^\alpha \bar \psi^\mu \varepsilon $$

(использовано $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$).

\begin{multline*} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = -i \overline{\left(-i \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon\right)} \rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \left( -i \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right)\\ = - \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline*}

Заметим, что
\begin{multline*} \overline{\rho^\beta \partial_\beta \psi_\mu} = \partial_\beta \psi_\mu^\dagger (\rho^\beta)^\dagger \rho^0 \equiv \partial_0 \psi_\mu^\dagger (\rho^0)^\dagger \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger (\rho^1)^\dagger \rho^0\\ = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 - \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^1 \rho^0 = \partial_0 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^0 + \partial_1 \psi_\mu^\dagger \rho^0 \rho^1 \equiv \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta. \end{multline*}

Поэтому
\begin{multline*} \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = - \partial_\beta \bar \psi_\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\alpha X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon\\ \equiv - \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. \end{multline*}

Каким образом вариация может занулиться решительно неясно.

[fizeg]

Если не путаю должно быть так. Используйте $\{\rho^\alpha,\rho^\beta\}=-2\eta^{\alpha\beta}$. Бозонная часть должна в итоге съесть фермионную.

[vanger]

Да, это соотношение верное. Но оно не помогает (мне). Оно действительно вертится на языке, и нет сомнений в том, что оно должно пригодиться -- свёртка с $\eta^{\alpha\beta}$ даст как раз бозонную часть, да ещё и с правильным множителем -- 2. Но как? Явно что-то делать надо с последним фермионным членом: там слишком много производных напало на $X^\mu$. Но как одну оттуда прогнать? Тут же даже особо по частям с занулением граничного члена не поинтегрируешь -- симметрия-то глобальная (а даже если и сделать вид что можно, ерунда получается).

[fizeg]

Во-первых, по-моему вы перепутали знак в члене с вариацией $\bar{\psi}^\mu$ (не забыли, что при сопряжении $i$ знак меняет?). Во-вторых, займитесь пока замкнутой струной, а про граничные члены думайте потом.

[vanger]

Ааа, про знак это ценное замечание. Ведь тождество $\bar \chi \psi = \bar \psi \chi$ требует действительности $\chi$ и $\psi$, а я использовал его и там, где это нарушалось.

А про граничные члены. Я ж как раз говорю, что тут, с одной стороны, они ничего хорошего давать не могут, в том смысле, что перебросить производную, за счёт зануления оных, нельзя, ввиду независимости малого параметра от координат. А с другой стороны, перебросить производную хочется...

UPD. С учётом замечания про действительность, получаем

$$ \delta \left( -i \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \psi_\mu \right) = \partial_\alpha \bar \psi_\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\beta X^\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \partial_\alpha \rho^\beta \partial_\beta X_\mu \varepsilon. $$

Теперь я даже могу подогнать под ответ: воспользоваться во последнем члене антикоммутационным сооношением для матриц Дирака и перебросить производные со сменой знака. Но пока это действительно не более чем подгон, т.к. переброска производных не обоснована.

[vanger]

Вот оно что. Вариация лагранжевой плотности -- не ноль, а "полная производная":

$$ \delta \mathcal L = - \partial_\alpha \bar \psi^\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon - \bar \psi^\mu \rho^\alpha \rho^\beta \partial_\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon = - \partial_\alpha \left( \bar \psi^\mu \rho^\beta \rho^\alpha \partial_\beta X_\mu \varepsilon \right) \equiv \partial_\alpha \varphi^\alpha. $$

Так что таким преобразованиям будет соответствовать сохраняющийся ток. И лишь в этом смысле "действие инвариантно относительно преобразований". Т.е. оно инвариантно, конечно, но с точностью до интеграла по границе (который частенько действительно нулевой, скажем, когда мировой лист свернулся во что-то типа сферы -- без границы).