2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:10 


27/05/15
5
Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда
$f(x)=\ln(e^{1+2x}(x^2+\sqrt{1+x^4}))$
Решение
$\ln(e^{1+2x}(x^2+\sqrt{1+x^4})) = \ln(e^{1+2x}) + \ln(x^2+\sqrt{1+x^4})$
$\ln(e^{1+2x}) = 1+2x $
$(1+t)^l = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{l(l-1)...(l-n+1)t^n}{n!}$
Тогда
$(1+x^4)^{1/2} = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^4n}{n!}$
Подсткажите, пожалуйста, что можно предпринять дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
zolotarev в сообщении #1020463 писал(а):
$\ln(e^{1+2x}(x^2+\sqrt{1+x^4})) = \ln(e^{1+2x}) + \ln(x^2+\sqrt{1+x^4})$

Производную второго слагаемого найдите и разложите в ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:27 


27/05/15
5
Производная $ \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}+2 x$
Только для разложения в ряд нужно же знать все производные до n?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это с чего это?
Для разложения в ряд у Вас уже все готово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:45 


27/05/15
5
$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}+ ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} + ... $
Разве не это нужно использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:48 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ни в коем случае. Для разложения в ряд по возможности стараются ограничиваться стандартными разложениями.

Как Вы собираетесь искать полный список производных в данном случае?

А вот для обратной задачи - найти производную произвольного порядка в точке - разложения в ряд Тейлора используются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 20:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
zolotarev в сообщении #1020481 писал(а):
Разве не это нужно использовать?
Это-то это, но если вы умножаете функцию на $x^n$, нет нужды искать производные — можно просто умножить весь её ряд на $x^n$. Также со сложением — ряды складываются почленно. Выражение же для $(1 + x^4)^{-1/2}$ вы знаете. Если знаете ряд для производной — почленным интегрированием можно получить ряд для самой функции, только нужно не забыть про добавление $f(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 21:10 


27/05/15
5
$ g(x) = \ln(x^2+\sqrt{1+x^4})$
$ g'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}+2 x$
$(1+x^4)^{1/2} = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n}}{n!}$
$\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}} = \frac{2x^3}{\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n}}{n!}} = $
$=\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{2 n!}{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n-3}}$
$ g'(x)=\sum\limits_{0}^{\infty}(\frac{2 n!}{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n-3}})+2 x$
$ g(0) = \ln(1) = 0$
$ \int\limits_{}^{} 1/x^{4n-3} = \frac{x^{4-4n}}{4-4n}$
$ g(x) =\sum\limits_{0}^{\infty}(\frac{x^{4-4n} 2 n!}{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)(4-4n)})+x^2$
Так правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 21:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
zolotarev в сообщении #1020491 писал(а):
$\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}} = \frac{2x^3}{\sum\limits_{0}^{\infty} \frac{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n}}{n!}} = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{2 n!}{1/2(1/2-1)...(1/2-n+1)x^{4n-3}} $

Нет. Вот это просто ужасно. Деление на ряд - это страшное действие само по себе, а последнее равенство для двух слагаемых будет выглядеть так: $\frac{1}{2+2}=\frac 12+\frac 12$.

Не надо знаменатель в ряд раскладывать. Раскладывайте $\frac 1{\sqrt{x^4+1}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение27.05.2015, 22:03 


27/05/15
5
Да, что-то я не подумал. Тогда так:
$ g(x) = \ln(x^2+\sqrt{1+x^4})$
$ g'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}+2 x$
$(1+x^4)^{-1/2} = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{-1/2(-1/2-1)...(-1/2-n+1)x^{4n}}{n!}$
$ g'(x)= \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{-1/2(-1/2-1)...(-1/2-n+1)x^{4n}}{n!}+2 x$
$ g(0) = \ln(1) = 0$
$ \int\limits_{}^{} x^{4n} = \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$
$ g(x) = \sum\limits_{0}^{\infty} \frac{-1/2(-1/2-1)...(-1/2-n+1)x^{4n+1}}{n!(4n+1)}+x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение в ряд Маклорена
Сообщение28.05.2015, 00:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
1) Мне что-то не нравится Ваша производная.
2) коэффициент в конечном ряде можно упростить до более приятной записи.

Идейно верно теперь, техника страдает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group