2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 эрмитова (комплексная матрица), собственные значения
Сообщение01.11.2007, 17:00 


01/11/07
15
дана эрмитова матрица, например
$A=\left(\begin{array}{ccc}
{1}1& i& 1+i\\
-i& -2& 3i\\
1-i& -3i&  1\end{array}
\right)
нужно найти ее собственные значения и векторы
в лит-ре описаны только вещественные матрицы, в частности приведение к трехдиагональному виду, но в случае с комплексными числами, по-моему, это не работает, но пишут, что этот алгоритм нужно несколько видоизменить.
вопрос каким образом?
прошу не оставлять ссылки на программы на фортране и т.д.
очень прошу помочь с алгоритмом, заранее спасибо[/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 20:59 


01/11/07
15
Brukvalub писал(а):
Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.


в этом-то вся загвоздка
матрица
$ A=P^THP, P^TP=E$
$H$ - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти $P$
$P=E-2vv^T/(v^Tv)
как выбрать $v$?

если $v=x+\alpha e, x$ - столбец с обнуляемыми элементами,
$\alpha $- знак $x_1$, $e$ - орт,
получается $v=\left\{ 2; -i; 1-i \right\}$, тогда $P^TP=E$, но совсем не похоже на то, что выдает MatLab и $PAP^T$ уж совсем не то, что нужно - получается хлам, а должны обнуляться элементы (причем за одну итерацию)

что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сначала Вы писали:
ilyagoo писал(а):
нужно найти ее собственные значения и векторы
Потом задача поменялась:
ilyagoo писал(а):
в этом-то вся загвоздка
матрица A=P'HP, P'P=E
H - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти P
Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 04:34 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
 !  ilyagoo
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2007, 06:08 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Возвращаю

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2007, 12:18 


01/11/07
15
Brukvalub писал(а):
Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

Насколько я понял, сначала нужно привести эрмитову матрицу к трехдиагональному виду, а потомQR разложением найти собственные значения и векторы. но на первом же шаге я терплю неудачу, что я делаю не так?
кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2007, 20:18 


01/11/07
15
господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2007, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
ilyagoo писал(а):
кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

Собственные значения точно могут быть комплексными.
Я лично находил с помощью $QR$ алгоритма собственные значения только для матриц с действительными элементами, но с комплексными собственными значениями. В этом случае $QR$ алгоритм дает возможность совершенно четко определять такие собственные значения.

Добавлено спустя 21 минуту 13 секунд:

А если представить Вашу матрицу в виде суммы двух, одна из которых умножена на комплексную единицу?
И затем уже работать с каждой действительной матрицей по отдельности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:18 


01/11/07
15
почитал тут еще литературку, все-таки собственные числа у такой матрицы могут быть только вещественными, но как их найти все еще не понятно, продолжаем обсуждение:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Вещественные потому, что матрица эрмитова.
Я сразу на этом не сконцентрировал внимание.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ilyagoo писал(а):
как их найти все еще не понятно
Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение \[\det (A - \lambda E) = 0\] и получаем собственные числа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2007, 08:00 
Заслуженный участник


15/05/05
3445
USA
ilyagoo писал(а):
господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970
- Райнш, Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.1976

Первая книга - это монография. Вторая - справочник, с программами НЕ на фортране. :) К каждому алгоритму есть достаточно подробное описание и реализация на давно забытом Алголе-60.

Мне лично всегда было достаточно того, что алгоритм описан у Уилкинсона, а вычисления можно выполнить с помощью подпрограмм из стандартных пакетов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2007, 09:08 


01/11/07
15
Brukvalub писал(а):
ilyagoo писал(а):
как их найти все еще не понятно
Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение \[\det (A - \lambda E) = 0\] и получаем собственные числа.

я бы решил это эравнение, не будь матрица размерностью 100*100, например, а 100 корней как-то не охота численно находить. та матрица 3*3 - только пример, чтобы понять, как считать на бумажке.

Yuri Gendelman писал(а):
Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970

спасибо за совет, сейчас скачаю - взгляну, но что-то мне подсказывает, что там то же, что и везде:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2007, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
ilyagoo писал(а):
матрица размерностью 100*100

Lapack
http://alglib.sources.ru/eigen/hermitia ... ianevd.php
НИВЦ МГУ
http://www.srcc.msu.ru/num_anal/lib_na/ ... nt_ae5.htm

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group