2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение спектра (как с многочленом, только хуже)
Сообщение19.05.2015, 21:27 


18/11/12
77
Пусть $X$ - комплексное банахово пространство,$ A$- линейный ограниченный оператор на $X$, функция $f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n$ аналитична в круге радиуса $r>||A||$ с центром в нуле. Доказать, что $\sigma(f(A))=f(\sigma(A))$, где $f(A):=\sum_{n=0}^\infty c_nA^n$.

В книге "Данфорд, Шварц - Линейные операторы. Том 1. Общая теория" вводится определение функции от оператора через интеграл, по аналогии с формулой Коши. В частности они доказывают, что для аналитических функций, представленных рядом, сходящимся в окрестности спектра, их определение и определение из задачи - совпадают. Потом они доказывают данную теорему уже для их определения, примерно так:
Цитата:
Пусть $\lambda\in\sigma(A)$, определим в области задания функции $f$ функцию $g(z)=(f(\lambda)-f(z))/(\lambda-z)$. Тогда $f(\lambda)I-f(A)=(\lambda\cdot I-A)g(A)$ Отсюда, если бы для $f(\lambda)I-f(A)$ существовал бы ограниченный обратный оператор $B$, то $g(A)B$ был бы таковым для $(\lambda\cdot I-A)$. Значит $f(\lambda)\in \sigma(f(A))$.
Обратно, предположим, что $\mu\in\sigma(f(A))$, но $\mu\notin f(\sigma(A))$. Тогда функция $h(z)=1/(f(z)-\mu)$ аналитична в некоторой окрестности $\sigma(A)$. Тогда $h(A)(f(A)-\mu\cdot I)=I$, что противоречит предположению $\mu\in\sgma(f(A))$.


Тут используются свойства определения функции от оператора через интеграл, например, что $f(A)g(A)=(fg)(A)$. Очень хотелось бы решить задачу без теории с интегралами, потому что в курсе интегралов от операторов вообще не определяли. Пытался таким же способом, просто определяя через ряды. Первая часть вроде бы работает, потому что сходимость ряда для нашей функции легко доказать. А вот в обратную сторону уже не получается, поскольку нам известно лишь, что функция $g(z)$ аналитична в окрестности $\sigma(A)$, но не во всем круге радиуса $r$. Более того, если, например, $f(0)=\lambda$, то $h(z)$ вовсе нельзя разложить в ряд Тейлора вокруг нуля, а значит и подставить в нее оператор по самому первому определению. Поэтому формулу $h(A)(f(A)-\mu\cdot I)=I$, к сожалению, пока не получается написать.

Подскажите, может есть другой путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение спектра (как с многочленом, только хуже)
Сообщение20.05.2015, 07:28 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
А Вы рассмотрите функцию
$$\tilde h(z) = \frac{P(z)}{f(z) - \mu},$$
с подходящим полиномом $P(z)$, который погасит полюса. Получится уже функция аналитическая в круге. Покажите, что $P(A)$ обратим (где лежат нули символа?). Дальше по схеме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение спектра (как с многочленом, только хуже)
Сообщение20.05.2015, 20:43 


18/11/12
77
sup в сообщении #1017649 писал(а):
А Вы рассмотрите функцию
$$\tilde h(z) = \frac{P(z)}{f(z) - \mu},$$
с подходящим полиномом $P(z)$, который погасит полюса. Получится уже функция аналитическая в круге. Покажите, что $P(A)$ обратим (где лежат нули символа?). Дальше по схеме.


Пока не понимаю, как доказать обратимость $P(A)$. Но даже если так, все равно ведь $1/P(A)$ будет иметь те самые полюса в круге, а значит не аналитична, поэтому впихнуть ее в произведение уже нельзя.

Ведь идея в том, чтобы написать $\tilde h(A)\cdot(1/P(A))\cdot(f(A)-\mu \cdot I)=I$, или я неправильно понял?

-------------
UPD: Туплю, видимо смысл просто написать $\tilde h(A)\cdot(f(A)-\mu \cdot I)=P(A)$ и если $ P(A)$ обратим, то домножить на обратный. Но пока все равно не понимаю как доказать обратимость

Мне кажется или обратимость очевидна?) Нули функции $f(z)-\mu$, назовем их $\mu_1,...,\mu_n$ лежат вне спектра $A$ по построению, значит обратимы операторы $(\mu_1\cdot I-A),...,(\mu_n\cdot I-A)$, а так же их степени и произведения их степеней. Я прав?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group