2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение14.05.2015, 16:45 


19/03/15
291
Утундрий в сообщении #768786 писал(а):
Neos в сообщении #768679 писал(а):
Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует

Так или иначе, это просто определения. Но и определения можно сделать менее формальными если поразмышлять, откуда они могут вылезти...

Рассмотрим двухиндексный набор чисел $x_{,\nu }^\mu$. Все числа этого набора могут быть получены по одному правилу: $x_{,\nu }^\mu   = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   1 & {\mu  = \nu }  \\   0 & {\mu  \ne \nu }  \\ \end{array} } \right.$. Замечаем, что "по построению" правило одно и то же в любых координатах. Следовательно, в "каком-то смысле" наш объект должен быть инвариантен. Исследуем смысл этого "какого-то смысла": $x_{,\nu '}^{\mu '}  = x_{,\nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu   = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta  x_{,\beta }^\alpha$. Обращает на себя внимание тот факт, что $x_{,\nu }^\mu$ преобразуется в точности как произведение $v^\mu  w_\nu$. Кроме того, всегда можно написать $v^\mu  w_\mu   = v^\nu  w_\mu  x_{,\nu }^\mu$ и посмотреть на это выражение в штрихованных координатах. Поскольку наше выражение инвариант, двухиндексной величине просто не остаётся выбора как преобразовываться. Убеждаемся в этом прямым вычислением и, вдохновясь намёками, рассматриваем наконец произвольноиндексные наборы чисел, преобразующиеся точно так же, как произведения одноиндексных. Осталось обозвать их всех каким-то словом... ну, например, тензоры.

Примечание
Я умышленно не объяснил принятую нотацию. Любопытно было бы узнать, что в ней (с точки знения новичка) требует объяснения?

Случайно нарвался, но поскольку подобное в бесконечных кол-вах возникает время от времени, решил вставить свои 5 копеек. Отчасти потому, что задачи типа "доказать, что символ Кронекера $\delta_j^k$ является тензором 2-го ранга уже доканали своей безграмотностью. Да и чуть не повсеместно встречаются в книжках". Да и не далее как на днях пришлось показывать книжку студентам, в которой предлагается это доказать про дельту. Достало ... Ваше рассуждение про $x_{,\nu }^\mu$ грешит типичным образом. Вот вам доказательство, что символ Кронекера не является тензором, а является набором скаляров. Пусть размерность пр-ва $N=2$. Пусть $\delta_1^1=1$ - это значение некоторой скалярной - температуры -величины (сидим в некоторой точке). Пусть $\delta_1^0=0$ - значение некоторой другой скалярной величины (плотности; в этой же точке). И так продолжаем про другие 2 компоненты. Переходим в другие координаты. Поскольку компоненты "моего" $\delta$ стряпались из скалярных объектов, они будут иметь те же самые старые значения в любых новых координатах. Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора. Я надеюсь вы понимаете, что тензорность объекта следует жесточайшим образом отличать от его числовых значений. Это именно то место, которое множится в хреновых книжках, когда пишут заклинания про типа "тензор - это набор чисел, преобразующихся ...". За такие фразы пора давно руки отсекать. Также как и про "набор функций, преобразующихся ...". Аналогичную "ахинею" можно воочию наблюдать про $\varepsilon$- тензор у ландавшица. Это утверждение, конечно не объявляет, что они не понимали, что такое тензор. Но то, что они пропопугайничали типично оканемевшие заклинания про его определения - это точно.

-- 14.05.2015, 19:56 --

Утундрий в сообщении #770057 писал(а):
Ведь начав с обсракных определений, всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов, только в обратном направлении.

Мысль неплохая, но, как обычно дело портят крайности. Большой крен в абстракцию, либо излишний в технический calculus. Выскажу мысль, в разумных (лично устанавливаемых и возможно меняющихся со временем пределах) плюс-минус должен быть вокруг понимания. От него, как известно не уйти.... Это так... философское добавление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
О, мою мёртвую тему воскресили!

Действительно, я тогда всё несколько переусложнил и упрёки совершенно справедливы. На самом деле тензоры - это матрицы :shock: Так и надобно объяснять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 21:35 


19/03/15
291
Ну я бы и на матричную трактовку тензоров тоже не против напасть. Отчасти потому, как вижу сейчас страдания студентов ... куча и каша велика. Матрицы не отличают оэ тензоров, а тензоры от функций. Сделал - грех - методическое наблюдение открытие, так как с младшекурсниками не сталкивался целую вечность. Запретить им, почти полностью, воспринимать тензоры как матрицы. От этого только беда, еще хуже. 0-1, 0-2 и 2-0 тензоры - сплошные матрицы. А если сюда дробавить, что матрицы преобразований Якоби - тоже матрицы то вообще. Кошмарище неописуемый в головах. Лучше запретить! Тензоры ничего не знают про матрицы. Ни в контексте лин-алгебры, ни в контексте расслоений-дифгема и даже ни в контексте технарского жонглировпния индексами и законов преобразования. По свежему своему восприятию (студенты!) уверяю запретите и вы и всех призываю. Тут кто-то высказывался, что это большая методическая проблема, вот я, по свежему восприятию и вываливаю свое "открытие". А на днях уже и связности пошли. Тоже самое. Пока, похоже, надо просто вдалбливать типа известной некопенганенской трактовки квантовой механики: "заткнись и считай". Кажется работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Смотрю, свежесть впечатлений весьма способствует повороту на $\pi$ радиан. Лучше, наверное, подождать с обсуждением пока эмоции схлынут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maximav в сообщении #1015019 писал(а):
Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.


Я вот этого "а не" не понял. (1,1) - тензоры -- это то же самое, что линейные операторы из $V$ в себя ($V$ -- линейное пространство, на котором заданы эти тензоры, например, касательное пространство). Тождественный оператор ни чем не хуже любого другого, и он не виноват, что у него во всех базисах одинаковые компоненты.

И вообще, нулевой тензор, что ли, тоже не тензор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6593
g______d в сообщении #1015158 писал(а):
тензоры -- это то же самое, что линейные операторы

А что, символ Кронекера - это оператор? Откуда и куда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер в сообщении #1015163 писал(а):
А что, символ Кронекера - это оператор? Откуда и куда?


Из $V$ в $V$, я же сказал. На многообразии -- из $T_x M$ в $T_x M$. Ну только не оператор, а набор компонент оператора или матрица оператора.

Известно, что $V\otimes V^*$ (которому принадлежат тензоры ранга (1,1)) канонически изоморфно $\mathrm{Hom}(V,V)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 22:04 


10/02/11
6786
остается только надеяться, что maximav
не преподает тензорный анализ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6593
Oleg Zubelevich в сообщении #1015165 писал(а):
нет, это матрица оператора :mrgreen: об остальном сами догадайтесь

Я думал, что символ Кронекера это всё-таки бинарная функция, заданная на некоем конечном множестве. Да, исходя из символа Кронекера можно построить матрицу. Да, исходя из матрицы, задав базис, можем построить линейный оператор (или билинейную форму). Это я конечно же понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение14.05.2015, 22:56 


19/03/15
291
Oleg Zubelevich в сообщении #1015169 писал(а):
остается только надеяться, что maximav
не преподает тензорный анализ :mrgreen:

К счастью, кое-кому приходится преподавать. Мне бы так преподносили на 1м курсе, что такое тензор. Я б не мучился в свое время. Именно, так и только так. Если вы против того, чтобы отличать числа от математических конструкций представляемых числами, то "вас надо предать математической анафеме" :mrgreen: :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение15.05.2015, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maximav в сообщении #1015019 писал(а):
Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.


Все-таки, поясните этот вывод. Давайте даже проще: возьмем набор компонент нулевого тензора. Будете тоже говорить, что это не компоненты тензора, а набор нулевых скаляров?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение15.05.2015, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Утундрий в сообщении #1015102 писал(а):
Так и надобно объяснять.

Как мне кажется, главное - это хорошо подобранные примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение15.05.2015, 01:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
maximav в сообщении #1015019 писал(а):
Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора [выделение моё — a.].
Выделенное никак не противоречит набору скаляров. Набор скаляров никак не противоречит тому, что выделенное преобразуется как надо (ну и что, что в себя).

maximav в сообщении #1015154 писал(а):
Матрицы не отличают оэ тензоров, а тензоры от функций.
Кто? Где? Покажите на них пальцем, а то вдруг они и дверь от окна не отличают заодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение15.05.2015, 09:45 


19/03/15
291
Утундрий в сообщении #1015155 писал(а):
Смотрю, свежесть впечатлений весьма способствует повороту на $\pi$ радиан. Лучше, наверное, подождать с обсуждением пока эмоции схлынут.

Да никаких эмоций нет. Все хладнокровно и навечно. Числа - это числа. Набор чисел - это не более чем набор чисел. Если вы этот набор чисел пронумеровали как $T_{jk}$ - это не более, чем пронумерованный набор чисел. Это даже вовсе не обязательно $2\times2$-матрица. Вы ее, то есть этот набор, можете написать и в строчку $T_{11},T_{12},T_{21},T_{22}$ (слышите, тензоры можно и в строчку писать/представлять), в столбец, по диагонали, произвольно рассыпать по листу бумаги, в пространсте(вах), обозвать их буквой $T$(ензор) и т.д. Это ровным счетом ничего не поменяет и не добавит. Это останется набором чисел. Соответственно просто так, взять и сказать что "этот ваш $T_{jk}$ - тензор" или "ваша матрица $\left(\begin{array}{cc}{1&2\\3&4\end{array}\right)$ - тензор" есть крайне дурная фраза и именно так в изобилии пишут в книжках. Например, Дубровин-Новиков-Фоменко пишут из книжки в книжку "тензор ... запись которого меняется....". Чушь. Математика не оперирует с понятиями "запись" или "запись меняется". Понимая о чем идет речь, корректная формулировка должна быть наоборот. Пусть у меня есть тензор $A$, пусть он есть элемент ЛВП, являющегося тензорным произведением двух ЛВП, и пусть в некотором базисе (предъявите его!) его координаты есть числа $A_{kn}$, которые равны этим самым вашим числам $T_{jk}$. Вот такая формулировка корректна. У числа/чисел $T_{jk}$ нет обратной памяти, т.е. они не знают, не знали, и не будут никогда знать с какими значениями и какого математического объекта они вдруг когда-то и где-то совпадали. Первоначальные $T_{jk}$ по-прежнем останутся набором чисел. Когда люди понимают о чем идет речь, конечно просто говорят: пусть есть (1,1)-тензор $\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Всего лишь условность.

Тензор, если речь идет о его числовом представлении, может быть задан только предъявлением его координат во всех базисах. Тензор всегда задается или полностью или он не имеет право называться тензором, а остается "каким-то набором чисел в каких-то координатах". Способ 1. Например объявили, что в одном базисе он есть $\delta_j^k$, а во всех других вычисляй по формуле, по какой надлежит иметь значения для тензора типа (1,1). Сделали, вычислили. Получили опять те же числа: нолики и единички. И ничего страшного. Это специальный "экзотический" тензор. А такой же, но $(0,2)$-тензор уже не будет ноликами и единичками в других координатах. И не важно, что вы его обозвали буквой $\delta_j^k$. А можно и наоборот, другой способ предъявления во всех координатах. Способ 2. Объявлю объект, с обозначением $\delta_j^k$, так, что пусть он во всех координатах имеет одни и те же значения $\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Замысел слегка сумасбродный, наглый, но авось. Начинаю проверять его на предмет какой-нибудь тензорности. Пробую тип (0,1) в 4-мерном пр-ве. Облом. Пробую тип (0,2) в 2-пространстве и получаю облом. Пробую тип (2,0) - опять облом. Пробую тип (1,1) в 2-мерном пр-ве и получаю НеОблом. Радуюсь и говорю. Есть такой (1,1)-тензор, который в любых кривых координатах равен вот такому набору единичек и ноликов. Не верь глазам своим, но комар носа не подточит. Однако надо быть начеку. Я таким же экстравагантным способ задания числовых значений "объекта нолики-единички" могу представлять не только тензор. Могу и набор скаляров, как описывал выше. Наборы чисел совпали, но объекты как сущности остались своими. Один - есть (1,1)-тензор, а другой - набор скаляров. А могу и еще хуже взять тензор $A_{[abc][jkn]}$, он определяется одной своей компонентой $A_{[123][123]}$, положу ее равной $A_{[123][123]}=1$. Возьму теперь из тензора $A$ по наглому кусок - одну компоненту $A_{[123][123]}=1$, возьму также оттуда нолики. Они все не меняются и я их запихиваю в значения моего superexotic объекта $\delta_{jk}=\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Это не тензор и не набор скаляров. Это нахватанные куски от тензора $A$ и еще быть может от чего-то. Но по числовому представлению он не отличим от тензора $\delta_j^k$. Нет противоречия. Есть две ипостаси: числа + сущность. Их нельзя - категорично!! - смешивать, подменять, объединять, откидывать одно от другого и т.д.

-- 15.05.2015, 12:52 --

В примере про $A_{[abc][jkl]}$ я кажется забыл корень детерминант метрики, но это не суть важно. Нахватать кусков из чего-либо, которые не меняются, я могу великим числом способов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грубое введение в тензоры
Сообщение15.05.2015, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maximav в сообщении #1015367 писал(а):
Тензор, если речь идет о его числовом представлении, может быть задан только предъявлением его координат во всех базисах.


Достаточно в одном базисе и указать тип.

Вы вот это

maximav в сообщении #1015019 писал(а):
Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.


всё-таки, прокомментируете? Интересует слово "не".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group