2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Всеукраинский турнир матбоев 2007, 1-й матбой
Сообщение29.10.2007, 22:05 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев


Математический бой №1
29.10.2007
Младшая лига (8-9 класс)


1. Решить систему неравенств:
$$
\left\{\begin{aligned}
3x+2y+4z^2&{}\ge6,\\
2x+y^2+4z^2&{}\le4,\\
x+4z+4z^2&{}\le0.
\end{aligned}\right.
$$

2. На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно таким образом,
что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в точке $K$. Из точки $K$ на стороны треугольник
опущены перпендикуляры. Через основы этих перпендикуляров на сторонах треугольника проведены
прямые $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, которые параллельны прямым, симметричным прямым $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ относительно биссектрис углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Доказать, что прямые $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ пересекаются в одной точке.

3. О заданных натуральных числах $m$ и $n$ известно, что $m+n>10$. Доказать, что существует такое натуральное число $k$, для которого $k<2^{m+n}$ и число $(1+2^m+2^n)k-2007$ делится на $2^{m+n}$.

4. Последовательность $(u_n)$ задана условиями: $u_0=0$, $u_1=\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}u_n=\frac{1}{2}(u_{n+1}+u_{n-1})$. Доказать, что для всех натуральных $n$ выполняется неравенство: $\lvert u_n\rvert\le1$.

5. Имеется $n$ книг, лежащих одна на другой. Занумеруем их $1,2,\ldots,n$. В каждом туре мы делаем $n$ ходов следующим образом~--- $i$-й ход заключается в том, что мы переворачиваем верхние $i$ книг как одно целое. После каждого тура мы аналогичным образом проводим следующий. Доказать, что после какого-то количества ходов мы придем к начальной расстановке всех книг.

6. Решить в натуральных числах уравнение:
$$
(x^2+2)(y^3+3)(z^2+4)=60xyz.
$$

7. В трапеции $ABCD$ на боковых сторонах $AD$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках $M$ и $N$. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой $MN$.

8. Все клетки таблицы $n\times n$ раскрашены в белый и черный цвета. Известно, что к границе прилегает по крайней мере $n$ черных и $n$ белых клеток. Доказать, что найдется не менее $n$ разных пар соседних разноцветных клеток, возможно, пересекающихся.

9. Назовем число <<хорошим>>, если в его десятичной записи встречается ровно по одному разу каждая цифра из $1,2,\ldots,9$. Кроме того, цифры $1,2,\ldots,5$ размещены в порядке возрастания, а цифра 6~--- левее цифры 5. Найти количество всех <<хороших>> чисел.

10. Числа от 1 до 2007 записаны в ячейки ленты $1\times2007$. Двое игроков поочередно отмечают
ячейки данной ленты. Проигрывает тот, после хода которого существуют такие два натуральных числа $m<n$ , что
сумма чисел во всех отмеченных ячейках с номерами от $m$ к $n$ делится на 2008. Доказать, что существует
по крайней мере тысяча начальных расположений чисел в ячейках, таких что для любых натуральных
$i$ и $j$ таких, что $1\le i<j\le2007$, сумма чисел в ячейках с номерами $i,i+1,\ldots,j$ не делится на
2008, при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию.

Математический бой №1
29.10.2007
Старшая лига (10-11 класс)


1. Решить систему уравнений:
$$
\left\{\begin{aligned}
x(3y^2+1)&{}=y(y^2+3),\\
y(3z^2+1)&{}=z(z^2+3),\\
z(3x^2+1)&{}=x(x^2+3).
\end{aligned}\right.
$$

2. Все клетки таблицы $n\times n$ раскрашены в белый и черный цвета. Известно, что к границе прилегает по крайней мере $n$ черных и $n$ белых клеток. Доказать, что найдется не менее $n$ разных пар соседних разноцветных клеток, возможно, пересекающихся.

3. Для вещественных чисел $a,b,c\in[0,1]$ доказать неравенство:
$$
\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2}.
$$

4. Треугольник $ABC$ имеет острые углы при вершинах $A$ и $B$. На сторонах $AC$ и $BC$, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники $ACD$ и $BCE$. Известно, что $\angle ADC=\angle ABC$, а $\angle BEC=\angle BAC$. Пусть $O$~--- центр окружности, описанный около треугольника $ABC$, а $P_{ABC}$~--- периметр треугольника $ABC$. Доказать, что если $OD+OE=P_{ABC}$, то треугольник $ABC$~--- прямоугольный.

5. Числа от 1 до 2007 записаны в ячейки ленты $1\times2007$. Двое игроков поочередно отмечают
ячейки данной ленты. Проигрывает тот, после хода которого существуют такие два натуральных числа $m<n$ , что
сумма чисел во всех отмеченных ячейках с номерами от $m$ к $n$ делится на 2008. Доказать, что существует
по крайней мере тысяча начальных расположений чисел в ячейках, таких что для любых натуральных
$i$ и $j$ таких, что $1\le i<j\le2007$, сумма чисел в ячейках с номерами $i,i+1,\ldots,j$ не делится на
2008, при которых первый игрок имеет выигрышную стратегию.

6. Дан треугольник $ABC$ с углом $\angle ACB<60^{\circ}$. Пусть точка $E$ выбрана на стороне $AC$ таким
образом, что $CE<BC$. Точка $D$ принадлежит отрезку $BC$ таким образом, что $\frac{AE}{BD}=\frac{BC}{CE}-1$.
Обозначим через $P$ точку пересечения прямых $AD$ и $BE$. Пусть окружности, описанные около
треугольников $AEP$ и $BDP$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Доказать, что прямые $QE$ и $BC$
параллельны.

7. Обозначим для произвольного натурального числа $m$ через $\sigma(m)$ сумму всех его делителей, а через
$\varphi(m)$~--- функцию Ейлера (количество натуральных чисел, не превышающих $m$ и взаимно простых с ним). Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных чисел $n$, для которых выполняется неравенство: $\varphi(\sigma(n))>n$.

8. Дана последовательность многочленов $P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x)$, $n\ge2$. Известно, что для каждого целого $i$ ($0\le i\le n$): $\deg(P_i(x))= n-i$, причем $P_n(x)\ne0$. Также известно, что для каждого целого $i$ ($2\le i\le n$) найдется многочлен $Q_i(x)$ такой, что $P_i(x)=P_{i-2}(x)+P_{i-1}(x)Q_i(x)$. Доказать, что если многочлены $R(x)$ и $S(x)$ удовлетворяют равенству $P_0(x)R(x)+P_1(x)S(x)=1$ для всех вещественных $x$, то $\deg(R(x))\ge n-2$ и $\deg(S(x))\ge n-1$. ($\deg P(x)$~--- степень многочлена $P(x)$.)

9. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие уравнению:
$$
xf(y)-yf(x)=f\left(\frac{y}{x}\right).
$$

10. На бесконечном листе бумаги в клетку 2006 сторон клеток окрашены в черный цвет,
а все другие~--- в белый. Разрешается выбирать некоторую клетку и перекрашивать все ее стороны в
противоположный цвет. Известно, что существует способ перекрасить в белый цвет все стороны клеток.
Обязательно ли для этого хватит:
а) 250000 перекрашиваний;
б) 260000 перекрашиваний?

Начало здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9720

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 05:20 


16/05/07
32
кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 09:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Tik-tak писал(а):
кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

Она примитивная. Все частные производные левой части неотрицательны и поэтому максимум по каждой переменной достигается на концах отрезка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
arqady писал(а):
Tik-tak писал(а):
кто-то решил задачу 3 старшей лиги?

Она примитивная. Все частные производные левой части неотрицательны и поэтому максимум по каждой переменной достигается на концах отрезка.

У меня не получаются неотрицательными. (Производная по $a$ при $a=0, b=c=1$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 11:15 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL писал(а):
У меня не получаются неотрицательными. (Производная по $a$ при $a=0, b=c=1$)

Пусть $$f(a,b,c)= \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc. $$
Тогда $$\frac{\partial ^2f}{\partial  a^2}=\frac{2bc^2}{(1+ac)^3}+\frac{2b^2c}{(1+ab)^3}\geq0.$$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 11:48 


16/05/07
32
Я имел ввиду "школьное решение", а я уверен большинство из участников этих боёв не знают о частных производных. Делаю эти выводы потомучто знаком с ими

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинский турнир матбоев 2007, 1-й матбой
Сообщение02.11.2007, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
По-школьному:
$$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2}$$
$$\frac{a+b+c}{1+abc}+abc\le\frac{5}{2}$$
$$2(a+b+c)+2abc+2a^2b^2c^2  \le 5 +5abc$$
$$2(a+b+c) \le 5 +abc$$
$$a+b+c \le 2 +abc$$
$$1+b+c \le 2 +bc$$
$$1+1+c \le 2 +c$$ - верно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group