2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрямые равноудалённые
Сообщение14.05.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
В псевдоэвклидовом пространстве $\mathbb{R}^{1,1}$ найти и описать все пары времениподобных кривых, взаимно равноудалённых в смысле радарного расстояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрямые равноудалённые
Сообщение14.05.2015, 23:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
1. Если сигнал отправляется из точки $A_1$ на кривой $\alpha$, отражается от точки $B$ на $\beta$ и прибывает в точку $A_2$ на $\alpha$, какой точке на какой кривой приписывается найденное расстояние?

2. Расстояние должно быть постоянным? (Иначе как Вы сопоставите точке на одной кривой другую точку на другой кривой, для которой расстояние то же?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрямые равноудалённые
Сообщение15.05.2015, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
svv в сообщении #1015202 писал(а):
Расстояние должно быть постоянным?

Да, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрямые равноудалённые
Сообщение17.05.2015, 02:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Всё оказалось проще чем я предполагал. Пусть $t,x$ - стандартные координаты, в которых $ds^2=dt^2-dx^2$. Удобным оказывается переход к изотропным координатам $t = \dfrac{u + v}{2} , \; x = \dfrac{u - v}{2}.$
Зададим искомую кривую параметрически $\left( u(s), v(s) \right)$, тогда "правая равноудалённая" к ней кривая есть $\left( u(s+\Delta), v(s) \right)$, где $\Delta$ - радарный отклик, фиксированная константа. Для того чтобы исходная кривая $(u,v)$ была для $(u_{+\Delta},v)$ "левой равноудалённой" необходимо выполнение условия $$\int\limits_{s_0 }^{s_0  + \Delta } {\frac{{d\tilde s}}{{ds}}ds}  = \Delta $$где $\tilde s$ - натуральный параметр "правой" кривой.

Поскольку $ds^2=dudv=u'v'ds^2$, то $u'v'=1$. Откуда ${d\tilde s}^2=u'_{+\Delta}v'ds^2=\dfrac{u'_{+\Delta}}{u'}ds^2$, после чего наше условие запишется в виде $$\int\limits_{s_0 }^{s_0  + \Delta } {\sqrt{\frac{u'(s+\Delta)}{u'(s)}}ds}  = \Delta$$Уберём из задачи $\Delta$, положив $u'(s) \equiv \varphi \left(2 \pi \dfrac{s}{\Delta} \right)$ и тогда уж заодно $\dfrac{\varphi (\xi+2 \pi)}{\varphi (\xi)} \equiv \lambda (\xi)^2$, после чего получим $$\int\limits_\eta ^{\eta  + 2\pi } {\lambda (\xi )d\xi }  = 2\pi $$Дифференцируя последнее равенство по $\eta$, находим $\lambda (\xi +2 \pi )=\lambda (\xi )$.

Вернёмся к уравнению нашей кривой. Игнорируя непринципиальные для задачи сдвиги и растяжения, можно сразу записать $t(\xi)=a(\xi)+b(\xi), \; x(\xi)=a(\xi)-b(\xi)$ для исходной "левой" кривой и ${\tilde t}(\xi)=a(\xi+2 \pi)+b(\xi), \; {\tilde x}(\xi)=a(\xi+2 \pi)-b(\xi)$ для равноудалённой от неё "правой" кривой. Здесь $a(\xi) \equiv \int\limits_0^\xi  {\varphi (\xi )d\xi }, \; b(\xi) \equiv \int\limits_0^\xi  {\dfrac{1}{\varphi (\xi )}d\xi }.$ (По сути это те же $u$ и $v$, но несколько отмасштабированные, поэтому для сохранения видимости математического приличия я обзову их новыми буквами.)

Что можно сказать о функции $\lambda(\xi)$? Критичным для поведения кривой оказывается равенство либо не равенство $\lambda$ единице. Пусть в окрестности некоторой точки $\lambda > 1$, тогда при $t  \to + \infty$ соответственные участки кривой будут всё более крениться набок, стремясь изотропизироваться. С $\lambda < 1$ та же история, только крен будет в другую сторону. Ну и для $t  \to - \infty$ ровно то же самое. В пределе больших и малых времён получим практически ломанную с точками излома (очень большого ускорения) там, где $\lambda = 1$. Не очень красивое поведение.

В свете вышеизложенного положим $\lambda \equiv 1$. Тогда $\varphi (\xi +2 \pi )=\varphi (\xi )$. Функция $\varphi$ подчиняется ещё одному ограничению $\varphi >0$, следующему из условия времениподобности искомой кривой ($u'>0, \; v'>0$), а в остальном произвольна.

Уже из периодичности $\varphi$ вытекает важное следствие: $a(\xi+2 \pi)=a(\xi)+l$, где $l$ - константа. Что означает следующее: "правая" кривая получается из "левой" сдвигом на постоянный изотропный вектор. Следовательно, форма у них одинакова.

В заключение приведу какой-нибудь пример, коий можно, скажем, нарисовать. Занятные кривули получаются при $\varphi(\xi)=3+\cos \xi$, что даёт $a(\xi)=3 \xi+\sin \xi, \; b(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt 2} \arctg \left( \dfrac{1}{\sqrt 2} \tg \dfrac{\xi}{2} \right)$. Хотя тут есть одна тонкость. Построенная по предложенному алгоритму кривая совсем не обязательно будет обладать великохудожественным свойством $x(\xi+ 2 \pi)=x(\xi)$ и может поэтому выглядеть не так круто как могла бы, вспомни я вовремя о преобразованиях Лоренца. Ну да не беда, их всегда можно провести и опосля. Вот так вот: $t(\xi)=C a(\xi)+\dfrac{1}{C} b(\xi), \; x(\xi)=C a(\xi)-\dfrac{1}{C} b(\xi)$, где $C$ - константа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group