2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 20:32 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
wrest

(О дивергенции ротора)

wrest в сообщении #1201267 писал(а):
То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)? Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

Таких не бывает. Но определения разные, а эквивалентность доказывается, как теорема. Я привык к такому.


-- 17.03.2017, 20:38 --

fred1996


(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1201271 писал(а):
Поговорите пока с EUgeneUS
Он вроде лучше моего в этом плавает.

Ни в коем случае! У меня остаточные знания и чего-то разложить в ряд без шпаргалок уже"ниасилю".


-- 17.03.2017, 21:02 --

wrest в сообщении #1201254 писал(а):
Для начала можно рассмотреть в невесомости равномерно заряженный бесконечный стержень с надетым на него равномерно одноименно заряженным кольцом. Без расчетов вроде бы мерещится, что кольцо должно устойчиво зависнуть в положении когда стержень совпадает с осью кольца.


Кстати! Этот случай легко рассмотреть аналитически в плоскости, перпендикулярной стержню. И вот тогда двумерная дивергенция в плоскости будет ноль. А значит никаких устойчивых равновесий. Зря только деньги на магнитики потратил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
EUgeneUS в сообщении #1201272 писал(а):
Ни в коем случае!
Ну хорошо, тогда рассказываю. Для магнитного поля в области, где нет токов можно ввести скалярный потенциал $\mathbf{H}=-\nabla\Psi,$ поскольку там ротор и дивергенция - ноль. Подробности - да хоть в Тамме. Тогда задача о диамагнетике сведется к задаче о диэлектрическом шаре в электрическом поле с той лишь разницей, что диэлектрическая проницаемость будет меньше единицы. Как мы тут установили, создать поле, которое стабилизирует шар в плоскости - дело не великое, поэтому сосредоточимся на вертикальной составляющей. Шар эквивалентен в первом приближении диполю, и по вертикали для $\varepsilon<1$ выталкивается убывающим полем. Приложив гравитационное поле мы можем стабилизировать шар в вертикальном направлении не изменив наведенного дипольного момента. Всякое электрическое или магнитное поле момент изменит, причем сделает это так, что бы убить положение равновесия (в великие теоремы мы, все-таки, верим), а гравитационное поле независимо от электрического, и спокойно может нарушать всякие граничные условия электростатики. Математически задача сводится к тому, что бы так подобрать конфигурацию поля и форму тела, что бы где-нибудь квадратичная форма его вторый производных (гравитационное поле на них не влияет) оказалась положительно определенной (как только я это вспомнил, так сразу выяснил, что облажался с точечным зарядом), а потенциал в горизонтальной плоскости имел бы минимум (по вертикали в этом месте минимума, и вообще, экстремума, быть не может). Тогда гравитационным полем мы загоним туда и минимум по вертикальной оси. Доказано, что это возможно только для $\varepsilon<1$. Так что в принципе в магнитном поле тела левитировать могут несмотря на принцип максимума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:26 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
amon
Спасибо.
На пальцах вроде понятно.
Но надо как-то осмыслить.
А без конкретных задачек я плохо умею.
Так уж мозги устроены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EUgeneUS в сообщении #1201258 писал(а):
Я уже тут облажался с размаху с переходом в плоский случай. А Вам возражать вообще страшно.
Но разве "потенциальное поле" - это не то, которое можно выразить через градиент скалярного потенциала?
А магнитное поле, например, соленоида нельзя.

Ага! Поэтому я и сказал "статических магнитов" :-)

Соленоида - можно, если разрешить совершить "разрез пространства", затягивающий проём соленоида двумерной поверхностью. Это  мои любимые мыши-медуницы  моя любимая теорема Гельмгольца о разложении векторного поля, со своими топологическими оговорками.

fred1996 в сообщении #1201263 писал(а):
А вы воспринимайте Мунина как просто стойку ворот в слаломе.
Не обязательно в нее врезаться.
Можно и обогнуть красиво. :)

Вообще-то я не просто так болтаю. Моя цель - не чтобы меня "обогнули красиво", а чтобы сменили направление мысли в нужную сторону.

Вот щас немножко оскорблю мэтра Лапласа:
    Представьте себе игрушку типа "детской пирамидки из колечек". И сделаем её колечки магнитами, с полюсами сверху и снизу. С противоположной ориентацией, то есть одноимёнными полюсами друг к другу. Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?

При этом, Лаплас нерушим, конечно же :-) И Ирншоу.

fred1996 в сообщении #1201271 писал(а):
Если честно, я магнитное поле недолюбливаю.

А может ли ровно так же висеть диэлектрический шар в поле электрическом? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1201296 писал(а):
А без конкретных задачек я плохо умею.

Можете глянуть, если интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:36 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
amon в сообщении #1201293 писал(а):
Доказано, что это возможно только для $\varepsilon<1$.


Доказано. Через знание, что диамагнетики ($\mu < 1$), могут левитировать. Нуок.

amon в сообщении #1201293 писал(а):
Так что в принципе в магнитном поле тела левитировать могут несмотря на принцип максимума.


Могут, если $\mu < 1$, кто же с этим спорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
wrest в сообщении #1201260 писал(а):
Скажите, а среди стационарных полей "безвихревое", "бездивергентное" и "потенциальное" -- не одно и то же?

И среди стационарных, и среди нестационарных:
- безвихревое - $\operatorname{rot}\mathbf{v}=0$;
- бездивергентное - $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$;
- потенциальное - $\mathbf{v}=\operatorname{grad}\varphi.$

При этом, факты о них таковы:
    БВ $\nLeftrightarrow$ БД;
    П $\Rightarrow$ БВ;
    П $\stackrel{?}{\Leftarrow}$ БВ:
      П $\Leftarrow$ БВ только в специально устроенной области пространства, в которой любой контур можно стянуть в точку - в частности, в полном трёхмерном пространстве;
    $(\text{БВ}\wedge\text{БД})\quad\nRightarrow\quad\mathbf{v}=0$;
    поля, для которых выполняется (БВ $\wedge$ БД), играют отдельную роль в векторном анализе, и называются гармоническими (Laplacian field).

Существует явная формула для вычисления потенциала заданного потенциального поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Munin в сообщении #1201300 писал(а):
Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?


Кто бы сомневался. Есть и более интересные штуки (а по сути - тоже самое). Приводил выше пример - "мотор Мендосино". Штука левитирует, то есть скомпенсирована вертикальная сила тяжести, причем может вращаться, а устойчивость обеспечивается горизонтальным упором в одной точке с минимальной силой.

Munin в сообщении #1201300 писал(а):
А может ли ровно так же висеть диэлектрический шар в поле электрическом? :-)


А у нас есть материалы с $\varepsilon < 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
EUgeneUS в сообщении #1201303 писал(а):
Через знание
Это доказано в 1939 году, и тогда же было впервые продемонстрировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
wrest в сообщении #1201267 писал(а):
То есть может быть безвихревое (ротор равен нулю везде) но НЕ потенциальное поле (интеграл по разным путям отличается)?

Может, если поле задано не везде, а за вычетом какой-то линии. Эта линия должна не иметь концов: она может быть замкнутой, уходить на бесконечность, и так далее.

Именно этот пример привёл EUgeneUS:
Магнитное поле соленоида или витка с током. Сам провод как бы "выпадает" из пространства, и в пространстве ротора нет, но циркуляция по контуру, охватывающему провод, есть. Такой контур нельзя стянуть в точку. И из-за такого контура, нельзя ввести потенциал.

wrest в сообщении #1201267 писал(а):
Или потенциальное (интеграл по разным путям один и тот же) но НЕ бизвихревое (ротор не равен нулю везде)?

Не может быть. $\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi=0.$ Это теорема, в том числе легко проверямая вычислением напрямую.

-- 17.03.2017 21:51:07 --

amon в сообщении #1201293 писал(а):
Шар эквивалентен в первом приближении диполю

Эх если бы. Линейно поляризующемуся диполю. А это совсем другое дело в вопросах устойчивости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение17.03.2017, 21:55 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
amon

(Оффтоп)

amon в сообщении #1201310 писал(а):
EUgeneUS в сообщении #1201303
писал(а):
Через знание Это доказано в 1939 году, и тогда же было впервые продемонстрировано.

Нисколько не сомневаюсь, что такое знание существует, корректно доказано и продемонстрировано, в том числе на лягушках. Мой комменатрий относился к конкретному посту, а не к знанию вообще.


Munin в сообщении #1201311 писал(а):
Тут нужен $\varepsilon<0$ :-)


Это уже выше моего текущего понимания, почему для магнитной левитации достаточно $\mu < 1$, а для электростатической требуется $\varepsilon<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение18.03.2017, 13:01 
Заслуженный участник


07/07/09
5408
EUgeneUS в сообщении #1201307 писал(а):
Munin в сообщении #1201300 писал(а):
Сомневается ли кто-нибудь в том, что верхний магнитик может "левитировать" над нижним, причём вбок сдвинуться ему не даст стержень "пирамидки"?


Кто бы сомневался. Есть и более интересные штуки (а по сути - тоже самое). Приводил выше пример - "мотор Мендосино". Штука левитирует, то есть скомпенсирована вертикальная сила тяжести, причем может вращаться, а устойчивость обеспечивается горизонтальным упором в одной точке с минимальной силой.


Пирамидку лучше перевернуть, большое кольцо горизонтально висит над малым. Если наоборот , то малое пытается перевернуться и заклинивается на стержне.
Кстати, может в левитроне имеет смысл разместить большой магнит над малым , вращающимся.

Мендосино не поясняет, почему он не поставил парочку магнитов в том месте, где ось упирается в стойку. Видимо закончились средства
мотор Мендосино.

Если смотреть со стороны " пружинок" , то все трудности подвеса в различии свойств контакта через твердое тело и через магнитное поле. В контакте через поле нормальная сила преобразуется в поперечную и контакт скользит в поперечном направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение18.03.2017, 15:00 
Заслуженный участник


07/07/09
5408
EUgeneUS в сообщении #1200070 писал(а):
Xey

Ни одна теорема, даже теорема Ирншоу, не запретит мне занять устойчивое равновесное положение на пружинном матраце.

А с полевого , на соленоидах, можно соскользнуть, если чуть пошевелиться? Лучше на железных магнитах, в таком можно сделать потенциальную ямку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение19.03.2017, 02:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Как-то задело, поэтому продолжил попытки обмануть принцип максимума, и уже практически обманул, и тут вспомнил, что все уже украдено до нас. Есть такая штука - Orbitrap, электростатическая ионная ловушка, применяется в масс-спектроскопии и работает в железе. В ней создано электрическое поле вида
$$
U(\rho,z)=\frac{k}{2}\left(z^2-\frac{\rho^2}{2}\right)+\frac{kR^2}{2}\ln\frac{\rho}{R}
$$
Для этого надо иметь хитрой формы электроды. Подробности здесь (это - прямая ссылка на pdf статьи автора). Прямая проверка показывает, что по $z$ это осциллятор, а по $\rho$ потенциал имеет минимум при $\rho=R$. Т.е. имеется круговая канава с горизонтальным дном, в которой положенный с нулевой скоростью заряд будет лежать неподвижно, а при конечной скорости - кататься по кругу. Великие принципА при этом не нарушаются, поскольку строгого минимума нет. В этой штуке даже гравитационного поля не надо - все и так держится. Изобретателям левитронов предлагается подумать в этом направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Летающий волчок
Сообщение19.03.2017, 03:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
График функции $U(r,0)=-\dfrac{r^2}{4}+\dfrac{1}{2}\ln r$:

Изображение

Что-то мне в упор не кажется это минимумом.

(Отрицательный заряд электрона не виноват, поскольку иначе максимум возникает по $z,$ что, надеюсь, убедительно и без графика.)

-- 19.03.2017 03:27:33 --

Ну и самое главное:
    amon в сообщении #1201702 писал(а):
    Великие принципА при этом не нарушаются, поскольку строгого минимума нет.
Они и нестрогие запрещают. То есть, если в точке сигнатура квадратичной формы $(+,+,0)$ или $(+,0,0),$ уравнение Лапласа всё равно нарушено. Если есть плюс, то должон быть и минус - вот что гласят великие принципа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 283 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group