2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Сабж.
Рассматривая квантовую механику над $L_2 (\mathbb R)$, накладывают дополнительно т.н. условия регулярности.
Зачем нужно $\to 0$ на бесконечности, можно ли без этого обойтись?

У меня есть предположение, что это для того, чтобы оператор импульса был эрмитов.

-- Вс май 10, 2015 13:26:55 --

В википедии другое написано:
Цитата:
Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл ~(1) станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 15:20 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Если вы рассматриваете функции $\[{L_2}\]$, то очевидно, что они должны достаточно быстро убывать на бесконечности.
Вообще же это зависит от системы. Если у вас состояние стационарное дискретного спектра, то $\[\int {{{\left| \Psi  \right|}^2}dV} \]$ сходится всегда, значит $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$ и лежит в $\[{L_2}\]$. Если спектр непрерывен, то $\[\int {{{\left| \Psi  \right|}^2}dV} \]$ расходится. Но тут можно например нормировать её на ящик, тогда эти два класса можно рассматривать вместе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Ms-dos4 в сообщении #1013167 писал(а):
Если вы рассматриваете функции $\[{L_2}\]$, то очевидно, что они должны достаточно быстро убывать на бесконечности.

Как насчёт такой функции: $f(x) = 1$ при $x \in (n, n + 2^{-n})$, и $f(x) = 0$ в остальных точках ($n$ натуральное). Не будет ли она единичной нормы?

-- Вс май 10, 2015 15:42:01 --

Можно непрерывно сшить, если надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 15:51 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Её можно сшить так, чтобы она была непрерывна и всюду дифференцируема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 15:54 


10/02/11
6786
Ms-dos4 в сообщении #1013167 писал(а):
Если у вас состояние стационарное дискретного спектра, то $\[\int {{{\left| \Psi  \right|}^2}dV} \]$ сходится всегда, значит $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$ и лежит в $\[{L_2}\]$.

не значит

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Ms-dos4
Кто ж запрещает

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:07 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Oleg Zubelevich
Я не дописал слова "на бесконечности" $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$
Legioner93
И каким образом? Я что то не представляю себе, что она представляет в физическом смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Ms-dos4 в сообщении #1013185 писал(а):
И каким образом? Я что то не представляю себе, что она представляет в физическом смысле.

Вы от меня явную формулу хотите? А без неё не очевидно? Развиньте чуть-чуть разрывы, да и соедините чем-нибудь гладким.

Насчёт смысла я не знаю, за этим и полез в ПРРФ. Узнать мотивировку такого регулярного условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:15 


10/02/11
6786
Ms-dos4 в сообщении #1013185 писал(а):
Я не дописал слова "на бесконечности" $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$

а я так и понял, что на бесконечности

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Legioner93 в сообщении #1013186 писал(а):
Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.


А если волновая функция будет константой на бесконечности, разве ноль не получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Freude в сообщении #1013187 писал(а):
Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.


Нужная функция, которая удовлетворяет всем вашим условиям, но тем не менее не мала на бесконечности, легко рисуется "свободным движением руки" (как говорил Эйлер)

-- Вс май 10, 2015 16:17:40 --

Freude в сообщении #1013192 писал(а):
Legioner93 в сообщении #1013186 писал(а):
Всё-таки думаю, что дело в эрмитовости.

$(-i\psi ', \varphi) - (\psi, -i \varphi ') = i (\psi(+\infty)\varphi(+\infty) - \psi(-\infty)\varphi(-\infty))$

И теперь мы такие хотим, чтобы справа был ноль... Чтобы получить все радости эрмитового (а уж тем более самосопряжённого) оператора. А уж такая вещь, как импульс, обязана эти радости иметь. И поэтому мы отбрасываем все неподходящие в.ф., говоря что они "нефизичны" или что-нибудь в этом духе. Такая что ли логика?
Но я не нашёл, чтобы кто-то так писал.


А если волновая функция будет константой на бесконечности, разве ноль не получается?

Она не из L2 будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Legioner93 в сообщении #1013193 писал(а):
Нужная функция, которая удовлетворяет всем вашим условиям, но тем не менее не мала на бесконечности, легко рисуется "свободным движением руки" (как говорил Эйлер)


Например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Вам нарисовать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group