2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Munin в сообщении #1013221 писал(а):
bump function

Это вы про ту финитную, что экспонента-с-минус-обратным-квадратом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да-да, про неё. Bump function, у Oleg Zubelevich она $\phi(x).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 17:23 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
В случае стационарного состояния дискретного спектра $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$ на бесконечности. Это следует хотя бы из того, что движение формально говоря "финитно", и на бесконечности волновая функция обязана экспоненциально затухать, тут я не понимаю претензий ко мне.
А именно с эрмитовостью это не связано. Её можно получить и если функция не стремится к нулю (как в случае непрерывного спектра). Просто рассмотрите систему в большом ящике с наложением условия $\[\psi (\frac{l}{2}) = {e^{i\varphi }}\psi ( - \frac{l}{2})\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Обязана ли функция из $L^2$ стремиться к $0$ на бесконечности? — А что это значит?

Если мы говорим о поточечном стремлении, то нет, более того, она не обязана быть ограниченной. Если мы имеем в виду, что $\int _{|x|\ge R} |\Psi|^2 \,dv\to 0$ при $R\to \infty$, то да. Здесь, впрочем, все имеют в виду поточечное стремление, т.е.
\begin{equation}\sup _{|x|\ge R}|\Psi(x)|\to 0\qquad \text{при  } R\to \infty \end{equation}

(и я упомянул о различных точках зрения просто для полноты).

(Оффтоп)

Кстати, как может расти на бесконечности ф-я из $\mathscr{S}'$? Да как угодно быстро. Возьмем $e^{ie^{x^2}}$ которая очевидно принадлежит $\mathrsfs{S}'$ и продифференцируем.


Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla  \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (1) будет выполнено (но не в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

Но у нас же $\Psi$ с.ф. оператора Шрёдингера. Ну и что? При "диком" потенциале $V$ м.б. все что угодно. Но при "диком" потенциале и оператор Шреёдингера, наивно определенный (например, на $C^\infty_0$), не обязан быть существенно самосопряженным. Это вопрос сильно нетривиальный, и общим учебником функционального анализа не отделаешься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Red_Herring
Тут вот Munin сказал, что я в $L_2$ разбираюсь, так что боюсь спрашивать, но всё же выскажусь :D

У самого первого примера (моего) производная равна нулю почти всюду. И значит она из $L_2$.

Это к этому
Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):
Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla  \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (1) будет выполнено (но не в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ms-dos4 в сообщении #1013225 писал(а):
В случае стационарного состояния дискретного спектра $\[{\left| \Psi  \right|^2} \to 0\]$ на бесконечности.

Вот, начались оговорки. И для начала, хотелось бы оговорить потенциал. Потому что слова "дискретный спектр" о нём говорят что-то, но не слишком много.

И это - не ответ на вопрос ТС. И это - погружение в тонкости, параллельные вопросу ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Legioner93 в сообщении #1013236 писал(а):
У самого первого примера (моего) производная равна нулю почти всюду. И значит она из $L_2$.

Вы неправильную производную берете: нужно брать обобщенную, и тогда там $\delta$ вылезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Red_Herring
Мы точно про классическое $L_2$ говорим? Вообще безо всякой КМ.
Там же нету дельты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Если Вы хотите использовать теоремы вложения—производные д.б. обобщенными, а не "почти всюду".

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Red_Herring
С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался. Ваш пост понял так:

Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):
Обязана ли функция из $L^2$ стремиться к $0$ на бесконечности? — А что это значит?
...
Вот если мы потребуем дополнительно чтобы $\nabla  \Psi$ также принадлежала $L^2$ то в размерности $1$ (это) будет выполнено


Безо всяких доп. умолчаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Legioner93 в сообщении #1013249 писал(а):
С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался.


Тогда к серьезному разговору о с.ф. Вы неготовы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Red_Herring
А с чего вы взяли, что я собирался говорить с вами о с.ф.? :shock:

Вы такие вещи явно оговаривайте. Потому что, как видите, для произвольного вектора из $L_2$ ваше утверждение ложно. А у вас, оказывается, какие-то гамильтонианы подразумевались... :wink:

Я на всякий случай скажу, что пси-функции бывают не только $<x|E>$, которые вы наверное имели в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Legioner93 в сообщении #1013249 писал(а):
С такими теоремами не знаком. И использовать их я пока не собирался.

Достаточно того, чтобы хотеть использовать вот это:
    Red_Herring в сообщении #1013228 писал(а):
    чтобы $\nabla  \Psi$ также принадлежала $L^2$... в размерности 3, там надо больше, например $\nabla^2 \Psi\in L^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Munin
Ок. Буду знать, что хотеть такой факт можно лишь зная теоремы о вложении. Больше хотеть не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция должна стремится к 0 на бескон-сти?
Сообщение10.05.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Но для физики, собственно, нафиг не нужно, чтобы производные от $\Psi$ лежали в $L^2.$ Потому что квадрат модуля $\Psi$ имеет физический смысл вероятности, а квадраты модуля производных - никакого подобного смысла не имеют. ($i(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)$ имеет смысл плотности потока вероятности, но как легко сообразить, на него не накладывается интегрального условия нормировки.)

Так что, Red_Herring предъявляет больше требований, чем нужно. Можно спокойно и в оговорённом классе
    Freude в сообщении #1013187 писал(а):
    Волновая функция должна быть решением уравнения Шредингера (диф. уравнение второго порядка) и ее квадрат модуля должен иметь смысл распределения вероятности (так решили физики). Из первого следует требование дифференцируемости, а из второго, согласно аксиомам Колмогорова, равенство нормы единице.
жить-поживать и добрана жевать.

-- 10.05.2015 19:57:47 --

Legioner93 в сообщении #1013273 писал(а):
Ок. Буду знать, что хотеть такой факт можно лишь зная теоремы о вложении. Больше хотеть не буду.

Вы не кипятитесь. Просто высокоучёные люди типа Red_Herring называют заумными и незнакомыми вам словами - довольно простые и понятные вам факты. Или обобщения этих фактов, изложенные более строгим и точным языком (который позволяет делать больше штук, чем вы на вашем уровне). Но по сути - тут разница только в языке, а не в завышенных к вам требованиях.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group