2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение05.05.2015, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Найти рациональное параметрическое решение системы с рациональными $a,b,c,d$

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 z^2  = \left( {x - a} \right)^2  + \left( {y - b} \right)^2  \\
\\ 
 t^2  = \left( {x - c} \right)^2  + \left( {y - d} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение06.05.2015, 07:46 


26/08/11
2057
$\begin{cases} \dfrac{x-a}{y-b}=\dfrac{2r}{r^2-1}=u \\ \\ \dfrac{x-c}{y-d}=\dfrac{2s}{s^2-1}=v \end{cases}$

Например так, но получится нечто ужасное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение06.05.2015, 11:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
$x=\dfrac{r(-c{s^2}+2ds-2bs+c)+a{r^2}s-as}{(s-1)(rs+1)}$,
$y=\dfrac{r^2(-c{s^2}+a(s^2-1)+2ds+c)+c{s^2}+a(1-s^2)+br(2-2{s^2})-2ds-c}{2(s-1)(rs+1)}$
Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение06.05.2015, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Shadow в сообщении #1011686 писал(а):
Например так, но получится нечто ужасное.

Диофантовые уравнения тем и славятся, что имеют "ужасные" решения. :D
Но можно в самом решении и не раскрывать внутреннюю "сущность" $u$ и $v $, достаточно раскрыть её отдельно. А кому понадобится, сам раскроет в решении.
И главное.
Данное решение описывает все рациональные решения системы.
Для этого достаточно показать:
если для рациональных $a,b$ выполняется

$\[
a^2 =b^2+1
\]$

то существует такое рациональное $t$, что

$$\[
b = \frac{{2t}}{{t^2-1 }}
\]$

Точно также можно решить и совсем "ужасную" систему

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 z^2  = \left( {ax + by + c} \right)^2  + \left( {dx + ey + f} \right)^2  \\
\\ 
 z'^2  = \left( {a'x + b'y + c'} \right)^2  + \left( {d'x + e'y + f'} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Предлагаю ещё задачу.
Найти рациональное параметрическое решение системы с рациональными $a,b,c,d$

$$
\[
\left\{ \begin{array}{l}
 z^2  = \left( {x - a} \right)^2  + 3\left( {y - b} \right)^2  \\
\\ 
 t^2  = \left( {x - c} \right)^2  - 3\left( {y - d} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 10:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Заметив, что $1^2+3=2^2$ и проводя секущие получим:

$\dfrac{x-a}{y-b}=\pm\dfrac{m^2+6m-3}{m^2-2m-3}$
$\dfrac{x-c}{y-d}=\pm\dfrac{2n^2-6n+6}{n^2-4n+3}$.

-- Чт май 07, 2015 12:36:46 --

Коровьев в сообщении #1011725 писал(а):
Точно также можно решить и совсем "ужасную" систему....

Решите систему $x^2+y^2=m^2$, $x^2+(Nx-y)^2=n^2$, где $m,n,N$ - рациональные. Она частный случай приведенной Вами. Годится любое ненулевое рациональное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 12:00 


26/08/11
2057
Когда можно разложить на множители, можно решить и совсем простыми методами. В случае $u^2-v^2=3$
$\begin{cases} \dfrac{x-a}{y-b}=\dfrac{r^2-3}{2r}\\ \\ \dfrac{x-c}{y-d}=\dfrac{s^2+3}{2s} \end{cases}$

На самом деле те же решения.

-- 07.05.2015, 12:06 --

$r=\dfrac{3-m}{m+1}$
А вот с $s$ не получается...?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
scwec в сообщении #1012011 писал(а):
Решите систему $x^2+y^2=m^2$, $x^2+(Nx-y)^2=n^2$, где $m,n,N$ - рациональные. Она частный случай приведенной Вами. Годится любое ненулевое рациональное решение.

Решение приведённой мною общей задачи приводит к решению линейной системы от двух переменных $x,y$. И здесь возможны два крайних случая, полученная система однородная или определитель её равен нулю. В обеих случаях нужен частный подход к выявлению решений системы.
В Вашем примере решение приводит к однородной линейной системе

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 x - \frac{{2r}}{{r^2  - 1}}y = 0 \\ 
\\
 \left( {1 - N\frac{{2s}}{{s^2  - 1}}} \right)x + \frac{{2s}}{{s^2  - 1}}y = 0 \\ 
 \end{array} \right.
\]$

И решение её приводит к поиску решения уравнения в рациональных числах

$$\[
\frac{{s^2  - 1}}{{2s}} - \frac{{r^2  - 1}}{{2r}} = N
\]
$

Что не проще исходной системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 14:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев в сообщении #1012042 писал(а):
Что не проще исходной системы.

Понятное дело. Для того и написал, чтобы узнать, не придумали Вы чего-нибудь новенького. Оказывается нет.
А для полученного уравнения есть много интересных решений.
Известно, (и несложно доказать) что для натуральных $N$ сколь угодно больших, решения существуют.
Но мне неизвестно, существует ли такое сколь угодно большое $N$, для которого решения не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
scwec в сообщении #1012051 писал(а):
Понятное дело. Для того и написал, чтобы узнать, не придумали Вы чего-нибудь новенького. Оказывается нет.

А что новенького можно придумать в решении линейной системы? Разве только всунуть куда-нибудь и смотреть, что получилось. :D

Shadow в сообщении #1012018 писал(а):
А вот с $s$ не получается...?


Рассмотрим общую систему с рациональными коэффициентами

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
z^2  = \left( {ax + by + c} \right)^2  +m \left( {dx + ey + f} \right)^2  \\
\\ 
z'^2  = \left( {a'x + b'y + c'} \right)^2  + n\left( {d'x + e'y + f'} \right)^2  \\ 
\end{array} \right.
\]$

и найдём все рациональные решения уравнений

$\[
\begin{array}{l}
 z^2  = u^2  + m \to u = F\left( r \right) \\
\\ 
 z'^2  = v^2  + n \to v = F'\left( s \right) \\ 
 \end{array}
\]$

В результате получаем систему


$$ \frac{{ax + by + c}}{{dx + ey + f}} = F\left( r \right) \\ $

$$ \frac{{a'x + b'y + c'}}{{d'x + e'y + f'}} = F'\left( s \right) \\ $

которая приводит уже к линейной системе от $x,y$.
И если полученная система не однородная и определитель её не равен нулю, то система имеет одно, но двух-параметрическое решение.

В задаче, которую я привёл нужно сначала найти рациональные решения двух уравнений

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 z^2  = u^2  + 3 \\
\\ 
 z'^2  = v^2  - 3 \\ 
 \end{array} \right.
\]$

$$\[
u = \frac{{r^2  - 4r + 1}}{{r^2  - 1}} = F\left( r \right)
\]
$

$$\[
v = \frac{{2\left( {s^2  + s + 1} \right)}}{{s^2  - 1}} = F'\left( s \right)
\]$

и далее решать линейную систему от $x,y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 16:43 


26/08/11
2057
Коровьев, это все понятно. Просто у одного уравнения могут быть разные параметризации в зависимости от того каким способом она решается (или, в конце концов, методом секущих через какую точку проводим секущие). Они на первый взгяд только разные, а переходят друг в друга заменой. Напр. уравнение $z^2=u^2+3$

$\\(z+u)(z-u)=3\\
z+u=m\\
z-u=\frac 3 m
\\
\\z=\dfrac{m^3+3}{2m},\ u=\dfrac{m^2-3}{2m}$

Для второго уравнвения

$v=\dfrac{n^2+3}{2n}$

С вашими решения замена понятна:
Коровьев в сообщении #1012072 писал(а):
$u = \dfrac{{r^2  - 4r + 1}}{{r^2  - 1}} = F\left( r \right)$

$v = \dfrac{{2\left( {s^2  + s + 1} \right)}}{{s^2  - 1}} = F'\left( s \right)$
$m \to \dfrac{1+r}{1-r},\;n \to \dfrac{s-1}{s+1}$

Я просто не нашел замену для второго решения scwec

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 18:19 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Коровьев в сообщении #1012072 писал(а):
А что новенького можно придумать в решении линейной системы? Разве только всунуть куда-нибудь и смотреть, что получилось. :D

Конечно, это имеет право на существование.
Но для той системы, которую я написал. можно рассмотреть эквивалентное ей уравнение эллиптической кривой $w^2=u^3+(N^2+2)u^2+u$
Это, может быть, более продуктивный подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти решение диофантовой системы уравнений
Сообщение07.05.2015, 21:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Shadow, поменял второе выражение. Теперь должно получиться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group