Убегаем от нуля, слабо к нему прикасаясь

[AGu]

Рассмотрим классическое банахово пространство $\ell^p=\{x\in\mathbb R^{\mathbb N}:\|x\|_p<\infty\}$,
где $\|x\|_p=\bigl(\sum_{n=1}^\infty|x(n)|^p\bigr)^{\frac1p}$, $1<p<\infty$.

Для каких $\alpha\in(\mathbb R\backslash\{0\})^{\mathbb N}$ слабое замыкание $\{\alpha(n)\bold e_n:n\in\mathbb N\}$ в $\ell^p$ содержит ноль?
В частности, есть ли среди таких последовательностей $\alpha$ стремящиеся к бесконечности?

P.S. Здесь $\bold e_n=\chi_{\{n\}}=(0,\dots,0,\!\!\underset{(n)}1\!\!,0,\dots)\in\ell^p$.

[red_alert]

Подходят все $\alpha$, из которых можно выделить ограниченную подпоследовательность.

Пусть $\alpha(n_k)$ — ограниченная подпоследовательность, тогда $\sup \limits_k \| \alpha(n_k) \bold e_{n_k} \|_p = \sup \limits_k | \alpha(n_k) | < \infty$. Понятно также, что $\alpha(n_k) \bold e_{n_k}$ сходится к нулю покоординатно. А слабая сходимость последовательности в $\ell^p$ равносильна ограниченности и покоординатной сходимости, поэтому $\alpha(n_k) \bold e_{n_k} \to 0$ слабо.

Правда, это еще не ответ на вопрос задачи. Подозреваю, что при некоторых условиях будут сходящиеся к нулю сети, хотя сходящихся последовательностей не будет.

[hippie]

AGu в сообщении #1011486 писал(а):

Для каких $\alpha\in(\mathbb R\backslash\{0\})^{\mathbb N}$ слабое замыкание $\{\alpha(n)\bold e_n:n\in\mathbb N\}$ в $\ell^p$ содержит ноль?

Ответ: при условии $\sum\limits_{n=1}^\infty|\alpha (n)|^{\frac p{1-p}}=\infty.$

AGu в сообщении #1011486 писал(а):

В частности, есть ли среди таких последовательностей $\alpha$ стремящиеся к бесконечности?

Есть. Например: $\alpha (n)=n^{1-\frac 1p}.$