Предел функции двух переменных.

[Sender]

Чтобы предел в некоторой точке не существовал, достаточно, чтобы пределы при приближении к данной точке по двум различным кривым не совпадали. Часто в качестве таковых используют прямые, проходящие через эту точку, но этот подход, как видим, не вcегда срабатывает. Не нравится парабола - возьмите любую другую кривую, главное - получить отличный от нуля предел при приближении по ней.

[integral2009]

Sender в сообщении #1012367 писал(а):

Чтобы предел в некоторой точке не существовал, достаточно, чтобы пределы при приближении к данной точке по двум различным кривым не совпадали. Часто в качестве таковых используют прямые, проходящие через эту точку, но этот подход, как видим, не вcегда срабатывает. Не нравится парабола - возьмите любую другую кривую, главное - получить отличный от нуля предел при приближении по ней.

Спасибо! А почему именно отличный от нуля?

Вот, например, здесь:

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль![/quote]

По направлению $y=kx^2$ будет $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{k^2x^4}{k^4x^4+x^4}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{k^2}{k^4+1}$

Так как значение предела не может зависеть от выбора пути (выбора $k$), то предела не существует. Верно?
То есть выбирается обычно удобное направление или как, почему именно по параболе?[/quote]

[demolishka]

integral2009 в сообщении #1012405 писал(а):

значение предела не может зависеть от выбора пути (выбора $k$), то предела не существует.

В вашем случае оно(значение) и не зависит от $k$. Просто вы его не вычислили.
Да, всё правильно.

[ewert]

integral2009 в сообщении #1012405 писал(а):

почему именно по параболе?

В принципе -- потому, что а почему бы и нет. Т.е. это угадайка. Хотя обычно бывают и некоторые эвристические соображения. Например, поиск предела естественно начинать с рассмотрения по отдельности случаев $x\to0$ и $y\to0$, а затем $\frac{x}y=\mathrm{const}$. Однако в данном случае бросается в глаза, что слагаемые в знаменателе имеют разный порядок. Так почему бы не прикинуть случай, когда они равны?

[Sender]

integral2009 в сообщении #1012405 писал(а):

Спасибо! А почему именно отличный от нуля?

Потому что в рассмотренном примере ноль уже был получен, осталось получить что-то ещё.

[integral2009]

demolishka в сообщении #1012410 писал(а):

integral2009 в сообщении #1012405 писал(а):

значение предела не может зависеть от выбора пути (выбора $k$), то предела не существует.

В вашем случае оно(значение) и не зависит от $k$. Просто вы его не вычислили.

При $k=0$ будет $0$, при $k=1$ будет $0,5$

-- Пт май 08, 2015 14:15:47 --

ewert в сообщении #1012414 писал(а):

integral2009 в сообщении #1012405 писал(а):

почему именно по параболе?

В принципе -- потому, что а почему бы и нет. Т.е. это угадайка. Хотя обычно бывают и некоторые эвристические соображения. Например, поиск предела естественно начинать с рассмотрения по отдельности случаев $x\to0$ и $y\to0$, а затем $\frac{x}y=\mathrm{const}$. Однако в данном случае бросается в глаза, что слагаемые в знаменателе имеют разный порядок. Так почему бы не прикинуть случай, когда они равны?

То есть в таких задачах нужно подобрать параметрическую кривую так, чтобы числитель и знаменатель сократился и если значение предела не будет зависеть от параметра, то предел будет существовать, а если будет зависеть, то существовать не будет. Верно?

-- Пт май 08, 2015 14:24:11 --

$$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{y^2-x}{x^2+y^4}=\displaystyle\lim_{y\to 0} \dfrac{y^2-ky^2}{k^2y^4+y^4}=\displaystyle\lim_{y\to 0} \dfrac{1-k}{k^2+1}$$

При $k=0$ будет $1$, при $k=1$ будет $0,5$, значит предела не существует. Верно?

[Sender]

integral2009 в сообщении #1012432 писал(а):

если значение предела не будет зависеть от параметра, то предел будет существовать

Это неверно.

integral2009 в сообщении #1012432 писал(а):

а если будет зависеть, то существовать не будет.

А вот это верно.