2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Слабосильная сходимость
Сообщение04.05.2015, 14:18 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Пусть последовательность элементов $x_n$ нормированного пространства сходится к нулю по норме, а последовательность ограниченных линейных функционалов $f_n$ сходится к нулю слабо*. Следует ли отсюда, что $f_n(x_n)\to0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабосильная сходимость
Сообщение04.05.2015, 14:58 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Я сегодня уже слишком много Ваших задач нарешал, да и подобные вопросы не так давно изучал, поэтому под спойлер, иначе нечестно по отношению к остальным участникам :-)

(Оффтоп)

Да для банаховых пространств, нет иначе.
В случае банаховости пространства, из слабой* сходимости функционалов по принципу равномерной ограниченности получаем равномерную их ограниченность, то есть $\forall n \|f_n\|<C$ для некоторой $C>0$. Тогда
$|f_n(x_n)|\leqslant \|f_n\| \|x_n\| \leqslant C\|x_n\| \to 0$
В случае небанаховости это может нарушаться. Возьмём, к примеру, пространство всех зануляющихся последовательностей, а в нём:
$x_n=\frac{1}{n} e_n$, где $e_n$ - орты, $f_n(x)=nx(n)$. Векторы сходятся к нулю по норме, функционалы - к нулю слабо*, но $f_n(x_n)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабосильная сходимость
Сообщение04.05.2015, 15:32 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
NSKuber, все правильно. Поздравляю.

(Оффтоп)

В своем примере Вы забыли снабдить пространство подходящей нормой, но это ерунда: и так понятно, что годится почти любая норма — например, $\|{\cdot}\|_p$, $1\leqslant p\leqslant\infty$.

А еще Вы говорите, что у Вас, якобы, вектора сходятся. Это неправда. Вектора не сходятся. Сходятся векторы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабосильная сходимость
Сообщение04.05.2015, 15:40 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
AGu

(Оффтоп)

А ещё там у меня где-то модуля обнуляются :-)
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group