2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 19:23 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Пусть $X$ — произвольное векторное пространство над произвольным полем. Опишите все пары векторных подпространств $Y,Z\subseteq X$ таких, что объединение любого базиса $Y$ с любым базисом $Z$ является базисом $X$.

P.S. Имеются в виду базисы Гамеля. Под «описанием» подразумевается простое сведение к каким-либо классическим понятиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 19:56 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:17 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):
Ну $Y+Z=X$ и $Y\cap Z=0$, это же вроде совсем простая задача? :-)
Согласен, задача простая. Тем удивительнее, что у нее другой ответ. ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:18 


13/08/14
349
patzer2097 в сообщении #1010078 писал(а):
$Y\cap Z=\varnothing$

Видимо Вы имели ввиду $Y\cap Z=\left\lbrace 0 \right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:23 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted:
AGu, а что не так? Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.
Может быть, я что-то не так понял? Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:33 


10/02/11
6786
берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:34 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):
Если $Z$ и $Y$ пересекаются, то мы можем дополнить их общий вектор до базиса $Z$ и до базиса $Y$, и тогда объединение этих базисов не будет линейно зависимо. Если $X\neq Y+Z$, то объединение базисов не порождает $X$.
Ну и наоборот, условие $Y\cap Z=0$ гарантирует, что объединение любых базисов $Y$ и $Z$ линейно независимо, а условие $Y+Z=X$ - что это объединение порождает $X$.
Здесь где-то (не скажу где :bebebe:) кроется ошибочка.

В этой задаче есть забавная ловушка. Я сам в нее попался, когда придумывал эту задачу для студентов. :-)

-- 2015.05.01 23:40 --

patzer2097 в сообщении #1010091 писал(а):
Или Вы имеете в виду, что надо рассмотреть отдельно случай, когда над полем из двух элементов пересечение содержит один элемент? :D
Виноват, я слишком рано стал отвечать: Вы еще не успели полностью написать решение. Вы очень близки к тому, чтобы выбраться из ловушки. (Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. :-))

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:42 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Oleg Zubelevich в сообщении #1010097 писал(а):
берем две обычные пересекающиеся плоскости в $\mathbb{R}^3$
А что показывает этот пример?
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
В этой задаче есть забавная ловушка.
Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:45 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
В этой задаче есть забавная ловушка.
Ага, и состоит она в том, что помимо описанных мной пространств, подойдут еще $X$, $Y$, $Z$, равные одномерному пространству над полем из двух элементов. Так?
Ага. :-) Весело, правда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 20:49 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #1010101 писал(а):
А что показывает этот пример?

ничего, я пропустил в условии задачи требование того, что объединение базисов тоже должно быть базисом, подумал, что объединение должно просто порождать пространство

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:04 
Заслуженный участник


14/03/10
867
AGu в сообщении #1010104 писал(а):
Весело, правда?
Согласен, что это подходящее описание. :-)
AGu в сообщении #1010098 писал(а):
(Жаль, что студентам не дали шанс попасть в нее. :-))
Да, прошу прощения, если что. Впрочем, студенты в математике найдут и другие ловушки помимо $\{a,a\}=\{a\}$ :bebebe:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:10 


13/08/14
349
Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение01.05.2015, 21:29 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Evgenjy в сообщении #1010131 писал(а):
Для векторных пространств принято, что объединение системы векторов $\left\lbrace a, b\right\rbrace$ и $\left\lbrace b, c\right\rbrace$ есть $\left\lbrace a, b, b, c\right\rbrace$, а не $\left\lbrace a, b, c\right\rbrace$, как в теории множеств.
Вы ошибаетесь.

Предлагаю завтра обсудить это в ЛС. (А то сейчас спать хочется. :-))

[Update] Оказалось, что под записью вида $\{a,b,c\}$ Evgenjy в данном случае понимает не множество, состоящее из $a,b,c$, а семейство. Тогда разногласия очевидны. Я, говоря о базисах, имел в виду множества, а не семейства.

Слова «Вы ошибаетесь» я зачеркнул. Приношу Evgenjy свои извинения. Надеюсь, что недоразумение устранено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объединения базисов
Сообщение02.05.2015, 15:14 


13/08/14
349
AGu в сообщении #1010137 писал(а):
Надеюсь, что недоразумение устранено.

Да, конечно.
Теперь каждый сможет разобраться в возможных трактовках задачи и соответствующих решениях.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group