2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле
Сообщение29.04.2015, 22:30 


29/04/15
2
Задача:
Разложить $x^{16}-x$ на неприводимые многочлены над полем $GF(2^4)$.

Что я сделал:
Нашел циклотомические классы:
$C_0=\{0\}$
$C_1=\{1,2,4,8\}$
$C_3=\{3,6,12,9\}$
$C_5=\{5,10\}$
$C_7=\{7,16,13,11\}$
Есть теорема (стр. 26), по которой $x^{15}-1=\prod_{C_i}M^{C_i}(x)$, где $M^{C_i}(x)=\prod_{j\in C_i}(x-\alpha^j)$, $\alpha$ - примитивный элемент $GF(16)$.

Так вот откуда взять этот $\alpha$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле
Сообщение29.04.2015, 22:49 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
1. Зачем вы циклотомические классы искали?
2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле
Сообщение29.04.2015, 23:05 


29/04/15
2
AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):
1. Зачем вы циклотомические классы искали?
Если воспользуюсь теоремой и умножу результат на $x$ то и получу ответ, вроде бы.
AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):
2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.
В задаче (8.6.b) ничего не сказано на этот счет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле
Сообщение29.04.2015, 23:08 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
auchan в сообщении #1009399 писал(а):
В задаче (8.6.b
) ничего не сказано на этот счет.

Вы теорию конечных полей изучаете по задачнику? Оригинально!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле
Сообщение29.04.2015, 23:48 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
auchan в сообщении #1009399 писал(а):
AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):
2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.
В задаче (8.6.b) ничего не сказано на этот счет.
В любом учебнике по алгебре (с учебниками по теории кодирования знаком хуже, но думаю, что и там тоже), в котором хоть что-то упоминается о конечных полях, приводится теорема существования и единственности конечных полей. Согласно этой теореме поле из $p^n$ (а других конечных полей не бывает) в точности состоит из всех корней многочлена $x^{p^n}-x$. Это в точности Ваш случай. И отсюда сразу же следует разложение Вашего многочлена.

Использование каких-то частностей при незнании основной теоремы о конечных полях, в самом деле, выглядит как-то странно.

ЗЫ: В задачнике, ссылку на который Вы привели, еще до задачи 8.6, есть задачи 7.4 и 7.5.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group