2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 01:00 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Изначальное задание: вычислить интеграл $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos nx}{1-2acos x+a^2} dx, -1<a<1$ (из задачника по ТФКП).

Типовой заменой $z=e^i^x$ получаем, что этот интеграл равен этому: $-\frac{1}{2i}\int\limits_{|z|=1}^{} \frac{z^2^n+1}{z^n(az^2-(1+a^2)z+a)} dz$

И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка, а $\infty$ — полюс $(n+2)$-го порядка. Не знаю, как тут можно вычеты посчитать.
Кроме того, есть ещё два простых полюса: $a$ и $\frac{1}{a}$, в них вычеты считаются легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 06:24 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Kink в сообщении #1007000 писал(а):
И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка,

Ну и ничего страшного, разложите в сумму простейших, где надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 17:04 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Otta в сообщении #1007044 писал(а):
Kink в сообщении #1007000 писал(а):
И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка,

Ну и ничего страшного, разложите в сумму простейших, где надо.

Ничего такого хорошего, что можно легко продифференцировать n раз, не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 17:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А как Вы раскладывали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 17:58 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Otta в сообщении #1007192 писал(а):
А как Вы раскладывали?

Сперва на две дроби: $\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.
Также пробовал сразу делить полином на полином, но всё равно не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 18:00 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну правильно. Про вторую - про ее вычет в нуле - все сразу ясно, а с первой что? Что Вы делали дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 18:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kink в сообщении #1007208 писал(а):
$\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.

Что значит "их" -- вторую раскладывать вовсе не нужно. А в первой надо раскладывать не всю дробь, а только $\frac{1}{(z-a)(z-1/a)}$.

А потом, кстати, надёжнее не дифференцировать, а просто разложить в геометрические прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл и вычеты
Сообщение23.04.2015, 19:36 
Аватара пользователя


02/12/13
57
Otta в сообщении #1007209 писал(а):
Ну правильно. Про вторую - про ее вычет в нуле - все сразу ясно, а с первой что? Что Вы делали дальше?

ewert в сообщении #1007224 писал(а):
Kink в сообщении #1007208 писал(а):
$\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.

Что значит "их" -- вторую раскладывать вовсе не нужно. А в первой надо раскладывать не всю дробь, а только $\frac{1}{(z-a)(z-1/a)}$.

А потом, кстати, надёжнее не дифференцировать, а просто разложить в геометрические прогрессии.

Спасибо, получилось :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group