лагранжев формализм в нестандартной задаче

[Oleg Zubelevich]

На горизонтальный стол под действием силы тяжести падает тонкая однородная цепь плотности $\rho$ и собирается в кучу $A$. Текущую высоту конца цепи $B$ обозначим за $y$. И будем считать, что скорость всех точек цепи на отрезке $BA$ одинакова и равна $\dot ye_Y$ , где $\overline e_Y$ -- единичный вектор оси $Y$
Легко сообразить, что уравнение движения имеет вид

$$\ddot y=-g.\qquad (*)$$

Напишем лагранжиан данной системы $L=T-V$, где кинетическая энергия $T=\frac{1}{2}\rho y\dot y^2$ , а потенциальная энергия силы тяжести, отсчитываемая от нуля, равна $V=\frac{1}{2}g\rho y^2.$

Напишем (формально) уравнения Лагранжа второго рода:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}=Q,\quad Q=\frac{1}{2}\rho\dot y^2\qquad (**)$$

(Прямой проверкой легко убедиться в том, что уравнения (*) и (**) равносильны.)

Интереc представляет обобщенная сила $Q$. Этой обобщенной силе отвечает сила $\overline F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2\overline e_Y$.

Что бы понять ее физический смысл, отметим, что попадая в кучу $A$ звенья реальной цепочки не меняют свою скорость скачком: чуть выше кучи имеется узкий слой в котором звенья умешьшают свою скорость с $|\dot y|$ до нуля. Но в идеальном случае, который мы и рассматриваем, это именно сила $\overline F$ тормозит звенья при входе в кучу. Причем тормозит их мгновенно: была скорость $\dot y$ стала 0. Неформально говоря, частицы цепочки бесконечно малой массы испытывают бесконечно большие ускорения, в итоге сила, действующая на них, вполне себе конечна.
Отметим, что силу $\overline F$ можно получить и из теоремы об изменении энергии $\frac{d}{dt}\big(T+V\big)=F\dot y\Longrightarrow F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2.$

Таким образом, главный вывод состоит в том, что подобные задачи описываются лагранжевым формализмом, но при этом надо вводить надлежащим образом силы.

Замечание. Во всех рассуждениях предполагалось, что цепь падает: $\dot y<0$. Если отказаться от этого условия (скажем, цепь кто-то тянет вверх за конец), то можно показать, что $\overline F=-\frac{1}{2}\mathrm{sign}(\dot y)\dot y^2\overline e_Y.$ Говоря неформально, в случае $\dot y>0$ сила $\overline F$ разгоняет на выходе из кучи бесконечно малые звенья цепи за бесконечно короткое время до конечной скорости. Объединяя оба случая ,мы видим, что $\overline F$ является силой с полной диссипацией.

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #1006501 писал(а):

$\frac{d}{dt}\big(T+V\big)=F\dot y\Longrightarrow F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2.$

Красиво!