2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 лагранжев формализм в нестандартной задаче
Сообщение21.04.2015, 19:30 


10/02/11
6786
Изображение

На горизонтальный стол под действием силы тяжести падает тонкая однородная цепь плотности $\rho$ и собирается в кучу $A$. Текущую высоту конца цепи $B$ обозначим за $y$. И будем считать, что скорость всех точек цепи на отрезке $BA$ одинакова и равна $\dot ye_Y$ , где $\overline e_Y$ -- единичный вектор оси $Y$
Легко сообразить, что уравнение движения имеет вид $$\ddot y=-g.\qquad (*)$$

Напишем лагранжиан данной системы $L=T-V$, где кинетическая энергия $T=\frac{1}{2}\rho y\dot y^2$ , а потенциальная энергия силы тяжести, отсчитываемая от нуля, равна $V=\frac{1}{2}g\rho y^2.$

Напишем (формально) уравнения Лагранжа второго рода:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot y}-\frac{\partial L}{\partial  y}=Q,\quad Q=\frac{1}{2}\rho\dot y^2\qquad (**)$$
(Прямой проверкой легко убедиться в том, что уравнения (*) и (**) равносильны.)

Интереc представляет обобщенная сила $Q$. Этой обобщенной силе отвечает сила $\overline F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2\overline e_Y$.

Что бы понять ее физический смысл, отметим, что попадая в кучу $A$ звенья реальной цепочки не меняют свою скорость скачком: чуть выше кучи имеется узкий слой в котором звенья умешьшают свою скорость с $|\dot y|$ до нуля. Но в идеальном случае, который мы и рассматриваем, это именно сила $\overline F$ тормозит звенья при входе в кучу. Причем тормозит их мгновенно: была скорость $\dot y$ стала 0. Неформально говоря, частицы цепочки бесконечно малой массы испытывают бесконечно большие ускорения, в итоге сила, действующая на них, вполне себе конечна.
Отметим, что силу $\overline F$ можно получить и из теоремы об изменении энергии $\frac{d}{dt}\big(T+V\big)=F\dot y\Longrightarrow F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2.$

Таким образом, главный вывод состоит в том, что подобные задачи описываются лагранжевым формализмом, но при этом надо вводить надлежащим образом силы.

Замечание. Во всех рассуждениях предполагалось, что цепь падает: $\dot y<0$. Если отказаться от этого условия (скажем, цепь кто-то тянет вверх за конец), то можно показать, что $\overline F=-\frac{1}{2}\mathrm{sign}(\dot y)\dot y^2\overline e_Y.$ Говоря неформально, в случае $\dot y>0$ сила $\overline F$ разгоняет на выходе из кучи бесконечно малые звенья цепи за бесконечно короткое время до конечной скорости. Объединяя оба случая ,мы видим, что $\overline F$ является силой с полной диссипацией.

 Профиль  
                  
 
 Re: лагранжев формализм в нестандартной задаче
Сообщение22.04.2015, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5002
ФТИ им. Иоффе СПб
Oleg Zubelevich в сообщении #1006501 писал(а):
$\frac{d}{dt}\big(T+V\big)=F\dot y\Longrightarrow F=\frac{1}{2}\rho \dot y^2.$

Красиво!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group