2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 16:28 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Не могу представить себе, как выглядят на диаграмме Венна зависимые и независимые события.
Чисто визуально, "на глаз". Совместные и несовместные - это понятно, если есть общая область, значит совместные, нет общей области - несовместные. Условная вероятность - тоже понятно, какую часть занимает общая область от одной из...
А вот с зависимыми и независимыми, не понятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Встречный вопрос: как выглядит на диаграмме Венна вероятностная мера? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 17:16 


23/12/07
1757
объясняю. теория вероятностей строится на базе трех понятий:
1) множество $\Omega$ элементарных исходов
2) множество подмножеств этого множества - так называемая алгебра событий $\mathcal{A}$(потому как каждое событие можно отождествить с каким-то множеством)
3) "функция вероятности" (вероятностная мера) - функция, которой на вход дают множество из $\mathcal{A}$ (событие),а на выходе она выплевывает значение от 0 до 1 (вероятность события)

так вот понятие совместности событий не зависит от того, какая выбрана "функция вероятности", потому ее легко можно выразить в терминологии понятий 1), 2) (а тут могут помочь диаграммы венна)

а вот зависимость/независимость уже напрямую определяются тем, какую выбрали вероятностную меру (одни и те же события при одной функции могут быть зависимы, при другой нет), потому в обычных диаграммах венна не выражаются

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Куча задач по ТВ, где на диаграммах стоят/надо поставить вероятности, соответствующие областям. На таких диаграммах независимость устанавливается по определению. На обычных можно только определить зависимость, если области не пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

gris в сообщении #1006452 писал(а):
Куча задач по ТВ, где на диаграммах стоят/надо поставить вероятности, соответствующие областям. ..
На каких каналах по ТВ показывают такие задачи? Наверное, это платные кабельные каналы ТВ? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вот только вчера увидел:
Изображение
На Расширенных Диаграммах Венна (sic!) показаны вероятности некоторых событий. Известно, что зелёное и красное, а также зелёное и синее события независимы. Являются ли независимыми синее и красное событие?
Как раз по теме уважаемого ТС, да не воспримет он эту невинную картинку за оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 18:54 


23/12/07
1757
gris

(Оффтоп)

имхо, это просто, чтобы лишний раз за цифрами в тетрадь не лазить. больше никакой пользы от такого представления я не вижу. наверное даже вреда больше, ибо создает неправильное интуитивное представление о вероятности как о принадлежности множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 19:14 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
Brukvalub в сообщении #1006427 писал(а):
Встречный вопрос: как выглядит на диаграмме Венна вероятностная мера?

Мне кажется, по аналогии с геометрическим определением вероятности можно предположить, что это площадь фигуры на диаграмме.
Выбирается какая-либо фигура, которой придается смысл достоверного события, и ее площади ставится в соответствие единичная вероятность.
Внутри рисуем фигуры меньшей площади, их площади, отнесенные к площади фигуры, изображающей достоверное событие, можно считать вероятностями соответствующих событий.
Конечно, все это достаточно условно...

-- Вт апр 21, 2015 18:16:31 --

_hum_ в сообщении #1006441 писал(а):
потому в обычных диаграммах венна не выражаются

(Оффтоп)

Вот чувствовал я тут какой-то подвох! :wink:


-- Вт апр 21, 2015 18:19:34 --

gris в сообщении #1006452 писал(а):
На обычных можно только определить зависимость, если области не пересекаются.

Если не пересекаются, то я и без всяких диаграмм скажу, что они несовместные и зависимые... 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тогда так: берем квадрат со стороной 1, внутри рисуем два прямоугольника со сторонами1 X 0,5, перекрывающиеся наполовину - вот и получилась модель независимых событий. :D Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 19:33 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
gris в сообщении #1006480 писал(а):
На Расширенных Диаграммах Венна (sic!) показаны вероятности некоторых событий. Известно, что зелёное и красное, а также зелёное и синее события независимы

Во-от... в этом, как раз и заключался мой вопрос... :roll:
Как, разглядывая эту диаграмму, понять, что $P(G|R)=P(G)$ , где $P(G)$ - вероятность зеленого события, и $P(R)$ вероятность красного события, по виду рисунка, не глядя на подставленные числа ?
И, чтобы два раза не постить: чем внешне отличается диаграмма трех совместно независимых событий от диаграммы трех совместно зависимых событий, каждые два из которых попарно независимы?

-- Вт апр 21, 2015 18:49:08 --

Brukvalub в сообщении #1006502 писал(а):
Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события.

Не всегда...
Если мы проведем внутри квадрата прямую параллельно боковой стороне квадрата на расстоянии $a$ и параллельно основанию на расстоянии $b$, то, ИМХО, при любых $a<1$ и $b<1$ события
$\left\lbrace X: (x<a)\right\rbrace$ и
$\left\lbrace Y: (y<b)\right\rbrace$ будут независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Диаграмма это схема. Вряд ли кто будет рисовать её точно. Ну если в виде прямоугольников, то можно с некоторой точностью, но зачем?
Вот так и две Ваши диаграммы внешне отличаться не будут. Могут быть незначительные отклонения в площадях пересечений. И всё будет зависеть от точности построений и измерений.
Ну при желании можно всё точно изобразить. Возьмём пресловутый квадрат размером $10\times 10$. Договоримся строить фигуры только из целых клеточек. Можно играть. Все вероятности будут в целых процентах.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Лукомор в сообщении #1006505 писал(а):
....

Brukvalub в сообщении #1006502 писал(а):
Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события.

Не всегда...
Если мы проведем внутри квадрата прямую параллельно боковой стороне квадрата на расстоянии $a$ и параллельно основанию на расстоянии $b$, то, ИМХО, при любых $a<1$ и $b<1$ события
$\left\lbrace X: (x<a)\right\rbrace$ и
$\left\lbrace Y: (y<b)\right\rbrace$ будут независимы.

Я вел речь о "своих" прямоугольниках.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 20:12 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
gris в сообщении #1006521 писал(а):
Вот так и две Ваши диаграммы внешне отличаться не будут.

Дело не только в диаграммах, хотя и в них тоже.
Хотелось бы понять:
1. как это так ловко получается в этом вероятностном мире, что из $P(G|R)=P(G)$ непременно следует $P(R|G)=P(R)$?
2. и, соответственно, если, например, события зависимые, и $P(G|R)<P(G)$, следует ли из этого, что и $P(R|G)<P(R)$ тоже, или, в этом случае будет наоборот $P(R|G)>P(R)$?
3. и, наконец, есть ли в теории вероятностей аналог неравенства Коши-Буняковского в виде, для данного примера, $P(R)\cdot P(G)\geqslant P(R|G)\cdot P(G|R)$.
Не так уж много, на самом деле, я хочу. :mrgreen:

-- Вт апр 21, 2015 19:19:48 --

Brukvalub в сообщении #1006527 писал(а):
Я вел речь о "своих" прямоугольниках.

Да, извиняюсь, не на то возразил... :oops:
Я имел в виду, что если взять прямоугольники, один единичной высоты, а другой единичной ширины, то они всегда дадут независимые события.
А если у каждого и длина и ширина произвольны, то, тогда конечно, будут зависимы "почти наверняка"... :wink:

-- Вт апр 21, 2015 19:31:03 --

gris в сообщении #1006521 писал(а):
Возьмём пресловутый квадрат размером $10\times 10$.

В принципе, для простых примеров такая точность будет излишня.
Для двух монет достаточно квадрата $2\times 2$, а для трех монет - куба, размером $2\times 2\times 2$ :D

-- Вт апр 21, 2015 19:34:22 --

gris в сообщении #1006521 писал(а):
Диаграмма это схема. Вряд ли кто будет рисовать её точно.

(Оффтоп)

А если линейкой по рукам?! :?
Точность должна возрасти на порядок... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение21.04.2015, 21:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Лукомор в сообщении #1006528 писал(а):
1. как это так ловко получается в этом вероятностном мире, что из $P(G|R)=P(G)$ непременно следует $P(R|G)=P(R)$?

Это получается из формального определения левых частей этих равенств. Только Вы никому этого не открывайте. Это -- тайное знание, доступное лишь посвящённым не менее чем шестой ступени.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не)зависимые события на диаграмме Венна
Сообщение22.04.2015, 08:52 
Аватара пользователя


22/07/08
1374
Предместья
ewert в сообщении #1006547 писал(а):
Это -- тайное знание, доступное лишь посвящённым не менее чем шестой ступени.

(Оффтоп)

Ну, что поделать, нет у меня черного пояса по теории вероятностей, но я упорно тренируюсь! :-)


-- Ср апр 22, 2015 08:01:40 --

ewert в сообщении #1006547 писал(а):
Это получается из формального определения левых частей этих равенств.


С формальным определением все в порядке, но глядя на диаграмму Венна, так сразу и не скажешь, что отношение площади, соответствующей вероятности $P(A\cap B)$ к площади $P(B)$ равно отношению площади $P(A)$ к площади $P(\Omega)$ и, если уж такое совпадение случилось, при этом обязательно отношение этой же площади $P(A\cap B)$ к площади $P(A)$ будет равно отношению площади $P(B)$ к площади $P(\Omega)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group