2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Крутые нормы
Сообщение10.04.2015, 15:16 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Пусть $X$ — произвольное бесконечномерное векторное пространство.

Рассмотрим две нормы $\|{\cdot}\|$ и $\|{\cdot}\|'$ на $X$.
Будем говорить, что $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$, если $\|{\cdot}\|'$ сильнее $\|{\cdot}\|$
и шар $\{x\in X:\|x\|'\leqslant 1\}$ не замкнут относительно $\|{\cdot}\|$.

(1) Различаются ли отношения «круче» и «строго сильнее»?
(2) Для любой ли нормы на $X$ существует более сильная норма?
(3) Для любой ли нормы на $X$ существует более крутая норма?

P.S. $\|{\cdot}\|'$ сильнее $\|{\cdot}\|\Leftrightarrow(\exists\,c>0)\ \|{\cdot}\|\leqslant c\|{\cdot}\|'$;
более сильная $\Leftrightarrow$ строго сильнее $\Leftrightarrow$ сильнее и не эквивалентна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение10.04.2015, 19:01 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
«Круче» точно не хуже «строго сильнее»:
Пусть $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$. Это означает, что существует последовательность $\{x_n\}$ элементов $X$ такая, что $\|{x_n}\|'\leqslant 1$, $x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|}x$ и $\|{x}\|'> 1$.
Пусть $\|{x}\|'=1+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Тогда:
$\|{x_n-x}\|'\geqslant|\|{x_n}\|'-\|{x}\|'|=\|{x}\|'-\|{x_n}\|'\geqslant\varepsilon \foralln$
С другой стороны, $\|{x_n-x}\|\to0$. Значит $\forall c>0 \, \exists n: \|{x_n-x}\|'\geqslant c\|{x_n-x}\|$.
В обратную сторону пока глухо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение10.04.2015, 19:31 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
NSKuber, пока все верно.

Делюсь альтернативным обоснованием ровно того же, что Вы успели заметить.

Как известно, эквивалентность норм равносильна совпадению соответствующих топологий.
Пусть $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$.
Шар $\{x\in X:\|x\|'\leqslant 1\}$, очевидно, замкнут относительно $\|{\cdot}\|'$.
Стало быть, есть множество, замкнутое относительно $\|{\cdot}\|'$, но не замкнутое относительно $\|{\cdot}\|$.
Следовательно, у норм $\|{\cdot}\|'$ и $\|{\cdot}\|$ разные топологии.
Следовательно, эти нормы не эквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение10.04.2015, 23:01 


10/02/11
6786
почти не думал, так, что если скажу глупость pardon

на вопросы (2) (3) ответ положительный: пусть $\|\cdot\|$ -- норма и $f$ неограниченный функционал в смысле этой нормы; $\|\cdot\|':=\|\cdot\|+|f(\cdot)|$

-- Пт апр 10, 2015 23:01:53 --

это скорее гипотеза, я ее не проверял

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение11.04.2015, 05:57 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Oleg Zubelevich в сообщении #1002458 писал(а):
это скорее гипотеза, я ее не проверял
Разумная гипотеза.

Кстати, норма $\|{\cdot}\|+|f({\cdot})|$ эквивалентна $\|{\cdot}\|\lor|f({\cdot})|$. Вторая норма технически чуть проще, так как ее шар равен пересечению $\{\|{\cdot}\|\leqslant1\}\cap\{|f({\cdot})|\leqslant1\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение11.04.2015, 12:40 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Доказал, что обратное неверно: существует пространство и две нормы в нём такие, что первая строго сильнее второй, но не круче.
Как доберусь до компа, распишу.
Гипотеза Oleg Zubelevich, по-моему, очевидно верна для (2) (да, существует). В силу неэквивалентности понятий для (3) надо думать что-то ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение11.04.2015, 14:59 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):
Доказал, что обратное неверно: существует пространство и две нормы в нём такие, что первая строго сильнее второй, но не круче.
Как доберусь до компа, распишу.
Это правда. Верю, надеюсь, жду.
NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):
Гипотеза Oleg Zubelevich, по-моему, очевидно верна для (2) (да, существует).
Да, тут нет сомнений.
NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):
В силу неэквивалентности понятий для (3) надо думать что-то ещё.
Было бы славно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение11.04.2015, 15:37 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Рассмотрим пространство $\ell^1$ всех суммируемых последовательностей, а в нём нормы $\|{\cdot}\|_1$ и $\|{\cdot}\|_\infty$. Очевидно, что первая строго сильнее второй.
Предположим, первая круче второй. Это означает, что существует последовательность $\{x_n\}$ элементов $\ell^1$ такая, что
$x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x$, $\|{x_n}\|_1\leqslant 1$ и $\|{x}\|_1> 1$.
Покажем, что такого быть не может. В самом деле, из $\|{x}\|_1> 1$ следует, что
$\exists \varepsilon >0\,\exists N:\sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)|=1+\varepsilon$. Так как $\|{x_n}\|_1\leqslant 1$, то $\forall n \sum\limits_{i=1}^{N}|x_n(i)|\leqslant 1$.
Таким образом, $\sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)-x_n(i)|\geqslant \sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)|-\sum\limits_{i=1}^{N}|x_n(i)|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \max\limits_{i\leqslant N}|x(i)-x_n(i)|\geqslant \frac{\varepsilon}{N}$ для всех $n$, что противоречит сходимости $x_n$ к $x$ по супремум-норме.

Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой? Я долго над этим не раздумывал, посмотреть хочется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение11.04.2015, 16:26 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
NSKuber, вновь все верно.

По традиции привожу альтернативное обоснование того же самого.

Для $x\in\ell^1$ и $k\in\mathbb N$ положим $x[k]=\bigl(x(1),\dots,x(k)\bigr)$.
Пусть $\|x_n\|_1\leqslant1$ и $x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x$. Покажем, что $\|x\|_1\leqslant1$.
Для любого $k\in\mathbb N$ имеем $\bigl\|x_n[k]\bigr\|_1\leqslant1$ и $x_n[k]\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x[k]$,
откуда в силу эквивалентности норм на $\mathbb R^k$ следует
$x_n[k]\xrightarrow{\|{\cdot}\|_1}x[k]$ и, в частности, $\bigl\|x[k]\bigr\|_1\leqslant1$.
Стало быть, $\|x\|_1=\sup\limits_{k\in\mathbb N}\ \bigl\|x[k]\bigr\|_1\leqslant1$.

NSKuber в сообщении #1002611 писал(а):
Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой?
Рановато. :-)
Предлагаю вернуться к этому вопросу (если он останется) после того, как мы разберемся с (3).

Кстати, из приведенного выше «альтернативного обоснования» видно,
что на пространствах последовательностей классические нормы не круче друг друга,
так как все те рассуждения сохраняют силу для любых пар $\|{\cdot}\|_p,\|{\cdot}\|_q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение13.04.2015, 06:30 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Подсказать?
Могу, например, сообщить:

    (а) … ответ «да»/«нет» на вопрос (3);
    (б) … справедлива ли гипотеза Oleg Zubelevich;
    (в) … какая из подсказок (а) или (б) будет сильнее;
    (г) … что подсказка уже была сделана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение13.04.2015, 19:03 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
NSKuber в сообщении #1002611 писал(а):
Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой?


Предлагается один простой примерчик крутой нормы. В сущности, это то, что и предлагал Oleg Zubelevich.
Рассмотрим пространство $C[0,1]$. Но с нормой $\|u\|_0 = \|u\|_{L_2(0,1)}$. А в качестве второй нормы рассмотрим $\|u\|_1 = \|u\|_{L_2(0,1)} + |u(0)|$. Полноты нет. Но ее и не требовалось.

(Оффтоп)

Кстати, этот пример у меня возник в практической деятельности. Правда там возник не такой, хотя и родственный вопрос. Дано выпуклое множество с непустой внутренностью в банаховом пространстве. Есть еще и "слабая" норма. При каких условиях на эту норму замыкание этого множества все еще имеет внутренность. Там были еще кое-какие вопросы. Но вот одним из примеров как раз и было замыкание в $L_2$ множества непрерывных функций, равных 0 в некой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение13.04.2015, 19:52 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
sup, симпатичный пример. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Крутые нормы
Сообщение15.04.2015, 09:42 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Видимо, пора закругляться с этой «крутотой». Раскалываюсь.
Гипотеза Oleg Zubelevich справедлива — в том числе, для (3).

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство с нормой $\|{\cdot}\|$.
Рассмотрим норму $\|x\|':=\max\{\|x\|,|f(x)|\}$, где $f\in X^\#\backslash X'$.
Положим
    $B^\circ:=\{x\in X:\|x\|<1\}$,
    $B:=\{x\in X:\|x\|\leqslant1\}$,
    $F:=\{x\in X:|f(x)|\leqslant1\}$,
    $B':=\{x\in X:\|x\|'\leqslant1\}=B\cap F$
и покажем, что $B'$ не замкнуто.

Из $\|f\|=\infty>1$ следует $B^\circ\not\subset F$, а значит, есть $x\in B^\circ\backslash F$.
Из $f\notin X'$ следует $\operatorname{cl}F=X$, а значит, есть $x_n\in F$, $x_n\to x$.
Поскольку $x\in B^\circ$ и $B^\circ$ открыто, можно считать, что $x_n\in B^\circ$.
Таким образом, $x_n\in B'$ и $x_n\to x$, но $x\notin B'$.
Следовательно, $B'$ не замкнуто.

Еще можно так рассуждать: из $\operatorname{cl}F=X$ следует $\operatorname{cl}(B^\circ\cap F)=B$,
откуда $\operatorname{cl}B'=\operatorname{cl}(B\cap F)=B$, в то время как $B'\ne B$.

Итак, все вопросы выяснены. Всем спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group