2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: определение тензора
Сообщение12.04.2015, 09:30 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Если в координатном виде, то линейный оператор $A:~V\rightarrow V$ представляется матрицей $A^i_j$. Элементы $V$ имеют один верхний индекс, элементы $V^*$ один нижний индекс, так что $A$ можно рассматривать как элемент $V\otimes V^*$. Или же как форму на $V^*\otimes V\simeq V\otimes V^*$, т.к. индексы $A$ можно сворачивать с индексами элементов $V^*\otimes V$ и получать числа.

В бескоординатном виде вам уже писали выше. По линейному оператору $A:~V\rightarrow V$ можно построить форму на $V^*\otimes V$ так: если $u=\sum_i x_i\otimes y_i$ -- какой-то элемент $V^*\otimes V$, где $x_i\in V^*$ и $y_i\in V$, то $A(u) = \sum_i x_i(Ay_i)$, где $Ay$ есть действие линейного оператора $A$ на $y\in V$, а $x(y)$ есть естественное спаривание элементов $V^*$ и $V$. И наоборот, по такой форме можно построить линейный оператор.

Это, в общем, абсолютно тривиально, и не заслуживает и этих пяти строчек.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение12.04.2015, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
arseniiv в сообщении #1001863 писал(а):
Это вообще даже не функция

Это функция! Из множества $\{\mbox{все базисы пространства}\,\,V\}\times\{1,\cdots,\operatorname{dim} V\}\to \{\mbox{основное поле}\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение12.04.2015, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alcoholist
Это из принципа "вообще всё - функция"? :-) (например, любой объект есть константная функция)

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение12.04.2015, 15:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Такой подход должен понравиться arseniiv, с его интересом к функциональным языкам программирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение12.04.2015, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1003002 писал(а):
Это из принципа "вообще всё - функция"? :-)

Вот посмотрите на определение касательного пространства в Рохлине-Фуксе))

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение14.04.2015, 14:58 


22/06/12
417
type2b
Спасибо!

А не подскажите в Ваших определениях обязательно использовать тензорное произведение? Или как-то можно обходится прямым произведением (=прямой суммой)? Ведь полилинейные формы задают именно с помощью этой операции.

Вообщем мне не понятно - где достаточно прямого произведения, а где возникает необходимость в тензорном.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение14.04.2015, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А вас не смущает, что там ещё и стрелочка используется?

В общем, надо не поверхностно пытаться отсортировать, "где достаточно прямого произведения, а где возникает необходимость в тензорном", а надо пытаться понять смысл определений.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение15.04.2015, 19:25 


22/06/12
417
Munin
С определениями линейной алгебры я знаком (и со стрелочками вчастности). Но знаком на уровне без тензорного произведения пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение15.04.2015, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну так вы с определением тензора-то знакомы? На уровне без тензорного произведения пространств.

Если да - то сами сопоставьте одно и другое определение. Если нет - то вы с определениями линейной алгебры не знакомы.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение15.04.2015, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
illuminates в сообщении #1004195 писал(а):
С определениями линейной алгебры я знаком (и со стрелочками вчастности). Но знаком на уровне без тензорного произведения пространств.

Советую сначала осмыслить произведение тензоров. Тогда станет понятнее определение тензорного произведения пространств. Иначе не понять, откуда оно проистекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение15.04.2015, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Сначала сами тензоры, потом произведение тензоров, потом пространства...

 Профиль  
                  
 
 Re: определение тензора
Сообщение17.04.2015, 11:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1003002 писал(а):
(например, любой объект есть константная функция)
Этого я и боялся!

svv в сообщении #1003006 писал(а):
Такой подход должен понравиться arseniiv, с его интересом к функциональным языкам программирования.
Да что уж тут, я его уже давно знаю. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group