2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 07:57 


07/04/15
244
Пусть дана система векторов
$$a_{i}=(a_{i1},\dots,a_{in}), i=1,\dots,s; s\leq n$$
Доказать, что если
$$|a_{ij}|>\sum\limits_{i=1,i\neq j}|a_{ij}|$$
для всякого $j = 1,\dots,s$, то данная система векторов линейно независима.

Первый взгляд на задачу был такой: по условию мы формируем укороченный набор векторов, если он линейно независим, то исходный линейно независим. Для этого нужно показать что ранг получившийся матрицы, где строки - вектора $a_i$, укороченные до координаты $s$, равен $s$. Видимо, исходя из неравенств получим везде вне главной диагонали нули, а на ней что угодно отличное от нуля и готово.

Но когда начал выписывать неравенство для элементов лежащих не на главной диагонали получился затык. Для $a_{lk}$
$$|a_{lk}|>\sum\limits_{i=1,i\neq k,i\neq l} |a_{ik}|+|a_{lk}|$$
$$0>\sum\limits_{i=1,i\neq k,i\neq l} |a_{ik}|$$

И решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
2old в сообщении #1001499 писал(а):
Доказать, что если
$$|a_{ij}|>\sum\limits_{i=1,i\neq j}|a_{ij}|$$

Чево? Поясните ка словами, что у вас слева и справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:30 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Проверьте, что написали. Внимательно проверьте. Первая формула очень похожа на условие диагонального преобладания, но только похожа. Не то у вас там две-три опечатки, не то я вообще не понимаю, о чём речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:44 


07/04/15
244
Dan B-Yallay
У нас есть квадратная матрица размером $s$. Модуль любого элемента этой матрицы больше чем сумма модулей элементов в этом же столбце, не включая диагонального.

iifat
Это задача 6.14 из задачника Кострикина. Поправил опечатку вместо $s<n$ там $s\leq n$. Больше нет вроде
https://pp.vk.me/c624330/v624330259/2b841/veoqC-5eSRs.jpg

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
2old в сообщении #1001515 писал(а):
У нас есть квадратная матрица размером $s$. Модуль любого элемента этой матрицы больше чем сумма модулей элементов в этом же столбце, не включая диагонального.

Хорошо. Теперь попробуйте состряпать пример такой матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:55 


07/04/15
244
Dan B-Yallay
Так я вроде же показал, что не получится

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
А, ну да. Вывод: либо Вы неправильно переписали задачку, либо преподаватель не отошел от воскресного отдыха. Покажите ваши выкладки ему и пусть исправит условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 09:17 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Судя по картинке, опечатка в учебнике. Скорее всего, имелось с виду $|a_{jj}|>\sum\limits_{1\leq i\leq n,i\neq j}|a_{ij}|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 10:01 


07/04/15
244
iifat
Тогда вроде так.

Пусть наша матрица $A$ неполного ранга. Тогда найдется ненулевой вектор $x$, такой что $Ax=0$.
Какая-нибудь $i$-я координата нулевого вектора тогда запишется как:
$$a_{jj}x_j+\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j = 0$$
Отсюда
$$a_{jj}= \frac{-1}{x_j}\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j$$

Теперь выберем какой-нибудь $x_j$, который нестрого больше остальных, т.е. их отношение $\leq 1$ (хотя бы один ненулевой обязательно найдется).
Отсюда
$$|a_{jj}| \leq |\frac{-1}{x_j}\sum\limits_{i\neq j} a_{ij}x_j| \leq \sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|$$
Противоречие, значит решением будет только нулевой вектор. Значит матрица полного ранга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 15:59 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
2old в сообщении #1001528 писал(а):
Какая-нибудь $i$-я координата нулевого вектора тогда запишется как:
Вот этих слов категорически не понимаю. Остальное вроде верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система векторов линейнонезависима.
Сообщение08.04.2015, 16:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Опечатки нет вот в этом издании:
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В. Проскуряков. 9-е издание. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
Здесь это № 651. Он со звёздочкой, но она означает, что к этой задаче есть указание или решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group