Нелинейное ДУ 2-го порядка

[galoperidol]

День добрый.
Столкнулся с ДУ вида:

$k\cdot y''=\left(\frac{2\cdot y'}{\cos(2x)}\right)^2\cdot(y-\sin(2x))$,

где $k=\operatorname{const}, k>0$.

Частное решение очевидно: $y=\alpha\cdot\sin(2x)$, где $\alpha$ есть корень уравнения $\alpha^2-\alpha+\frac{k}{4}=0$, кроме того, уравнению удовлетворяет функция $y=\operatorname{const}$.

Неясно, что делать дальше. Понятно, что шанс получить общее решение в элементарных функциях нулевой (большой удачей бы посчитал выражение через известные спецфункции).

Попробовал провести тест Пенлеве - не проходит (если я правильно все сделал).
Попробовал покурить справочник Зайцева-Полянина - тоже без особого результата (возможно, слишком бегло смотрел). Буду благодарен за любые идеи, замены, комментарии.

[galoperidol]

Продвинулся сам. Замена независимой переменной $t=\sin(2x)$ с последующим преобразованием Лежандра позволяет получить однородное уравнение и, соответственно, понизить его порядок. Получится уравнение Абеля 2-го рода.

[galoperidol]

Кажется, я поторопился с выводами...
Замена $t=\sin(2x)$ приводит к:

$y''\cdot(1-t^2)-y'\cdot t=\frac{4}{k}\cdot y'^2\cdot(y-t)$

Далее, преобразование Лежандра $t=\omega'_z$, $y=z\cdot\omega'_z-\omega$
($\omega$ - новая неизвестная функция, $z$ - новая независимая переменная) в предположении $\omega''_z\ne 0$ приводит к уравнению

$\omega'^2+z\cdot\omega''\cdot\omega'+\frac{4}{k}\cdot z^2\cdot\omega''\cdot\left[(z-1)\cdot\omega'-\omega\right]=1$.

Единица в правой части портит всё. Слева стоит однородное по $\omega$, $\omega'$, $\omega''$ выражение, замена $\omega'=\omega\cdot u$, $\omega''=\omega\cdot(u^2+u')$ понижает порядок уравнения. При нулевой правой части получилось бы уравнение Абеля 2-го рода, причем интегрируемый случай.

Однако, я так понял, знание общего решения соответствующего однородного (в смысле нулевой правой части) уравнения не дает ничего (в случае нелинейности). Достаточно вспомнить решение уравнения $y''\cdot y=1$.