2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение05.04.2015, 22:52 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. У меня возникла вот такая задача : классифицировать конечные подгруппы в группе $(PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}))\rtimes \mathbb{Z}_2$. Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент. При это мне известны все конечные подгруппы (с точностью до изоморфизма) у группы $PGL_2(\mathbb{Q})$ : $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$, где $C_n$ - циклическая группа порядка $n$, а $D_n = \langle x, \ y \ | \ x^n=y^2=(xy)^2 = e \rangle$ - группа диэдра порядка $2n$.
Для начала я хотел разобраться с конечными подгруппами прямого произведения $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$. Пусть $G < PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ - конечная подгруппа. Рассмотрим отображения : $\pi_i : PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q}) \rightarrow PGL_2(\mathbb{Q})$, $i=1,2$ - проекции. Тогда $G_1 = \pi_1(G), \ G_2 = \pi_2(G)$ - конечные подгруппы в проективной группе. Тогда получаем, что $G \leq G_1 \times G_2$, где $G_i$ одна из $C_2, \ C_3, \ C_4, \ C_6, \ D_2, \ D_3, \ D_4, \ D_6$. Получается, что нужно разобрать с подгруппами прямого произведения. Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент. Есть такое утверждения - лемма Гурса http://en.wikipedia.org/wiki/Goursat's_lemma . С помощью которой, вроде, можно находить подгруппы произведения, зная подгруппы $G_1$ и $G_2$. Я не понимаю как нужно это делать. Я разобрался со случаем, когда $G_1, \ G_2$ - циклические. Меня вот интересует, когда порядок произведения уже немаленький (просто когда маленький я уже в ручную строю произведения и смотрю на ее подгруппы). Например, вот как можно описать все подгруппы $D_4 \times D_6$ ?
И еще, я вот не совсем понимаю. Вот $\mathbb{Z}_2$ действует перестановкой компонент. Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение05.04.2015, 23:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.
Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение06.04.2015, 00:52 


26/08/09
197
Асгард
Sonic86 в сообщении #1000699 писал(а):
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Сложность в том, что подгруппы произведения это не просто произведения подгрупп компонент.
Так вроде бы любая подгруппа произведения является некоторой подгруппой декартова произведения подгрупп компонент, разве нет? :roll:

Это да. Но это, вроде, будут не все подгруппы. Или я что-то путаю. ) Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение06.04.2015, 20:46 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

3.14 в сообщении #1000734 писал(а):
Пусть $G \times H$ и $G_i, H_i$ - подгруппы $G$ и $H$ соответственно. Тогда сами $G_i$ и $H_i$ будут подгруппами произведения, потом $G_i \times H_j$ тоже будут. Все ли это будут подгруппы.

Нет, подгруппа прямого произведения не обязательно раскладывается в прямое произведение подгрупп сомножителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение07.04.2015, 16:23 


26/08/09
197
Асгард
AV_77 в сообщении #1000955 писал(а):
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Отсюда же не следует, что в прямом произведении нам нужно брать только группы вида $C_n \times C_n$ и $D_n \times D_n$ ?

Нужно рассматривать подгруппы типа $G \times H$, где $G, H$ - конечные подгруппы из $\operatorname{PSL}$ и $(G \times G) \rtimes \mathbb{Z}_2$.

Почему $G, \ H$ из $PSL$ ? :oops: И все-таки, как описывать подгруппы $G \times H$ через подгруппы $G$ и $H$ ? :oops: Когда $G$ и $H$ циклические вроде еще можно посчитать. Даже когда не циклические, но небольших порядков тоже еще можно взять в ручную организовать прямое произведение и по таблице умножения подгруппы выписать. Но например $D_4 \times D_6$ уже порядка 72 и искать вручную подгруппы проблематично.
Далее, вот я не совсем понимаю вот как полупрямое произведение нормально представить, чтоб можно было подгруппы искать. Например, возьмем в качестве $G$ группу $C_6$, тогда нужно рассмотреть подгруппы такой штуки $(C_6 \times C_6) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Вот все подгруппы $C_6 \times C_6$ вроде такие : $C_2, \ C_3, \ C_6, \ C_2 \times C_2, \ C_3 \times C_3, \ C_2 \times C_6, \ C_3 \times C_6, \ C_6 \times C_6$. Пусть подгруппа $H \subset C_6 \times C_6$ - циклическая, тогда нужно понять как представить такое вот произведение $C_n \rtimes \mathbb{Z}_2$ ну или более общо $C_n \rtimes C_m$. Вроде получается так : $C_n \rtimes C_m = \langle x,\ y \ : x^n = y^m = e, \ yxy^{-1} = x^k \rangle$, где $k^m = 1(mod \  n)$. А вот теперь вот такую группу $(C_n \times C_m) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Ясно, что будут какие-то три элемента образующих $x, \ y, \ z$ : $x^n = y^m = z^2 = e$, далее, условие $xy = yz$. И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение07.04.2015, 23:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
3.14 в сообщении #1001213 писал(а):
Почему $G, \ H$ из $PSL$ ?

У вас там $\operatorname{PGL}$? Тогда из нее.

3.14 в сообщении #1001213 писал(а):
И вот теперь как составить условие взаимодействия $z$ с $x$ и $y$ ?

А зачем вам это взаимодействие представлять, если оно вам задано
3.14 в сообщении #1000691 писал(а):
Группа $\mathbb{Z}_2$ действует на $PGL_2(\mathbb{Q}) \times PGL_2(\mathbb{Q})$ перестановкой компонент.

У вас, значит, будет $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Она имеет три образующих $x, y, z$ такие, что $x^n = y^n = z^2 = 1$ и $z^{-1}xz = y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группа автоморфизмов P^1*P^1.
Сообщение08.04.2015, 22:01 


26/08/09
197
Асгард
То есть $(C_n \times C_n) \rtimes \mathbb{Z}_2 = \langle x, \ y, \ z \ | \ x^n = y^n = z^2 = e, \ xy=yx, \ z^{-1}xz = y \rangle$ :D
А если теперь посмотреть на $(D_n \times D_n) \rtimes \mathbb{Z}_2$. Если я не ошибаюсь, то
$$
D_n \times D_n = \langle x_1, \ y_1, \ x_2, \ y_2 \ | \ x_1^n = y_1^2 = (x_1 y_1)^2 = e, \ x_2^n = y_2^2 = (x_2 y_2)^2 = e, \ x_1 x_2 = x_2 x_1, \ y_1 y_2 = y_2 y_1 \rangle.
$$
Значит (если можно сказать по аналогии) условия на $z$ такие : $z^{-1}x_1 z = x_2$ и $z^{-1}y_1 z = y_2$ ? :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group