2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 12:01 


04/03/15

24
Доброго времени суток. Дано параметрическое неравенство (чуть посложнее, чем обычно попадается на едином гос. экзамене)$$3x^5 + 11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|+\sqrt[3]{4x+5}\le 25.$$ Нужно найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений на интервале $[-4; -1]$.

В общем, выражение в левой части неравенства является монотонно возрастающей функцией. Чтобы неравенство было верно на каком-либо отрезке достаточно того, чтобы оно было верно в правом конце отрезка. В данном случае при $x=-1$. Если это действительно так, что у меня вызывает толику сомнения, то не могли бы вы объяснить, почему именно так?
 i  Lia: Название темы исправлено на соответствующее теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно параметрического уравнения
Сообщение05.04.2015, 12:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
raizak в сообщении #1000418 писал(а):
выражение в левой части неравенства является монотонно возрастающей функцией.

Не проверяла, но, надеюсь, вы это доказали. Тогда рассуждение верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 12:36 


04/03/15

24
provincialka в сообщении #1000422 писал(а):
Не проверяла, но, надеюсь, вы это доказали.

Да, безусловно. Я так понимаю, что именно ввиду возрастающей монотонности рассуждение верно? Да и мне одного "верно" мало :-) . Почему же так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 12:38 


19/05/10

3940
Россия
provincialka, вопрос не об этом был.
Надо оценить производную левой части: У первых двух слагаемых больше 11 (совсем грубо), у вторых двух меньше 10, у третьего больше нуля

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 12:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:09 


04/03/15

24
ewert в сообщении #1000449 писал(а):
Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

Немного не понимаю Вашего математического жаргона. В смысле забьет? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
raizak в сообщении #1000458 писал(а):
В смысле забьет? :-)
В смысле победит: $11>4+2 \cdot 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:16 


19/05/10

3940
Россия
Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть. А так конечно можно без дифференцирования (заметим, кстати, что я при подсчетах ничего не дифференцировал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
raizak в сообщении #1000458 писал(а):
ewert в сообщении #1000449 писал(а):
Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

Немного не понимаю Вашего математического жаргона. В смысле забьет? :-)

Имеется в виду , что при любом варианте раскрытия модулей выражение $$11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|$$ превращается в возрастающую линейную функцию.

-- Вс апр 05, 2015 13:23:06 --

mihailm в сообщении #1000464 писал(а):
Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть. А так конечно можно без дифференцирования (заметим, кстати, что я при подсчетах ничего не дифференцировал).

Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihailm в сообщении #1000464 писал(а):
Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть.

Дело в том, что производные в такого рода задачах ни разу не предполагаются. А конкретно тут они ещё и вредны, т.к. пудрят мозги своим видом.

-- Вс апр 05, 2015 14:25:00 --

Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):
Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.

Это-то не беда; а беда в том, что доказательство становится излишне многословным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:38 


04/03/15

24
Резюмируя, как рациональнее всего надо было подходить к решению данного неравенства? Верно ли, что надо было начинать рассуждение с рассмотрения поведения функции? Как? Я представлял данное выражение в виде двух функций $f(x) + g(x,a) \le 0$. Также, прошу не забывать про данный в задаче интервал $[-1;4]$, ввиду которого можно заключить, что $f(x)$ -- всегда $<0$. Далее диффиринцировать функцию f(x), непонятно мне зачем. Пока это все, что я понял из нынешней темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
raizak в сообщении #1000476 писал(а):
Резюмируя, как рациональнее всего надо было подходить к решению данного неравенства?

Ровно так, как Вы с самого начала и пытались: угадать, что функция монотонно возрастает в любом случае (тут уж как повезёт) и формально доказать, что это действительно так (а это уже легко, раз уж угадали).

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:51 


04/03/15

24
ewert, нет, я не угадывал. Я доказывал монотонность только функции f(x). Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует, а далее она строго возрастает (ибо все ее производные положительны, если Вы на этом намекали). Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:53 


19/05/10

3940
Россия
Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):
...Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.
Не беда, это не было полным решением.

-- Вс апр 05, 2015 13:54:44 --

ewert в сообщении #1000468 писал(а):
mihailm в сообщении #1000464 писал(а):
Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть.

Дело в том, что производные в такого рода задачах ни разу не предполагаются. А конкретно тут они ещё и вредны, т.к. пудрят мозги своим видом...
ewert, я привел свой подход, вы свой. Ничего они не пудрят, сейчас не 80-й год.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром
Сообщение05.04.2015, 13:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
raizak в сообщении #1000482 писал(а):
Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует,

Напрасно Вы так считаете.

raizak в сообщении #1000482 писал(а):
Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?

Доказывать, что она также монотонна при любом значении параметра.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group