2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 16:30 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, нежданно-негаданно пришедшее понимание доказательства.
Итак, банальная теорема, доказательство которой я до этого дня до конца не понимал: порядок любой подгруппы делит порядок группы.
Объяснение. Пусть в группе $G$ порядка $n$ взята подгруппа $A$ порядка $m$. Я рассматриваю левые классы. Беру элемент $g_1\notinA$, образую класс $g_1A$. Классы $A$ и $g_1A$ не имеют общих элементов, это понятно. Пусть уже построено $i$ классов: $A,\,g_1A,\,\dots,g_{i-1}A$. Допустим, после этого в группе осталось $r$ элементов. Если $r\geq m$, то, беря какой-либо элемент $g_i$ из этих оставшихся $r$ элементов, получаю новый класс $g_iA$. Тут все ясно и неинтересно. Недопонимание было, когда $r<m$ и $r\ne0$. Итак, допустим, что после построения $i$ классов смежности в группе осталось $r$ элементов $r<m$ и $r\ne0$. Беру какой-либо элемент $a$ из этих оставшихся $r$ элементов. Из этого элемента $a$ я с таким же успехом могу построить новый класс $aA$, в котором $m$ элементов. Эти элементы опять-таки не входят в предыдущие классы. Но этого не может быть, ибо после построения первых $i$ классов смежности в группе осталось $r$ элементов, которое меньше $m$. Я верно понимаю? Может быть, такое подробное описание и излишне, но его мне так не хватало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Зачем всё это? Все классы равномощны и пересекаются по пустому - это Вы поняли. Объединение их - вся группа. Сколько элементов в объединении и сколько в группе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 18:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
100 тысяч зрителей по одному рублю --- это будет ... сумасшедшие деньги! (с)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 22:19 


03/06/12
2745
bot в сообщении #998536 писал(а):
Зачем всё это? Все классы равномощны

Равномощны-то они равномощны, но в доказательствах я нигде не вижу обоснования того, что всякий элемент группы попадет в определенный смежный класс. Вот как доказывает Смирнов:
Изображение
Здесь вместо доказательства этого предложения он просто пишет: "Положим, что путем конечного числа таких операций мы исчерпаем все элементы группы $G$", а из чего видно, что исчерпаются именно все элементы группы, ИМХО, не понятно.
А вот как у Коруша по этому поводу:
Изображение
Изображение

(Оффтоп)

Внимание! Все, что исходит с моего компа, не скачивать: у меня вирус!

Отсюда я также нахожу доказанным, что два любых смежных класса группы $G$
по подгруппе $A$ или совпадают или же не имеют общего элемента
, но я не вижу здесь опять-таки доказательства того, что любой элемент группы обязательно попадет в определенный смежный класс. Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 22:31 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Sinoid в сообщении #998661 писал(а):
но я не вижу здесь опять-таки доказательства того, что любой элемент группы обязательно попадет в определенный смежный класс

Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 22:40 


19/05/10

3940
Россия
Sinoid в сообщении #998661 писал(а):
...не вижу обоснования того, что всякий элемент группы попадет в определенный смежный класс
...Здесь вместо доказательства этого предложения он
...но я не вижу здесь опять-таки доказательства...
Sinoid, вы в упор не видите нормальных доказательств в сочинениях классиков, с чего это вы увидите доказательства в словах простых смертных форума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 23:05 


03/06/12
2745
AV_77 в сообщении #998664 писал(а):
Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

При построении класса берется определенный элемент да и класс состоит из определенных элементов, эти элементы можно увидеть, написать, а вот какие элементы не входят в уже построенные классы, вообще говоря, и не опишешь: как их увидеть?
mihailm в сообщении #998666 писал(а):
вы в упор не видите нормальных доказательств в сочинениях классиков

Во-первых, именно поэтому я сюда и написал, может, кто из уважаемых участников подтолкнет в нужную сторону, а, во-вторых, если он классик, его, что, уже и поанализировать нельзя? Вспомните Ньютона и Эйнштейна, теория тяготения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 23:35 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Sinoid
Я читаю Алексеева-Арнольда "Теорема Абеля", там есть ответ на ваш вопрос. Найдите задачу №60.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 23:43 


19/05/10

3940
Россия
Sinoid, дело не в том можно или не можно анализировать учебники (Смирнов правда немного архаичен, но если не писать кандидатскую по алгебре то хватит), а в том, что учебниках по математике для математиков в принципе такой ситуации быть не может: написано (или подразумевается) доказательство, а его там нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 23:49 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Для каждого элемента группы $x$ строим класс $xA$. В результате каждый элемент группы окажется, как минимум, в одном классе, поскольку
AV_77 в сообщении #998664 писал(а):
Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение31.03.2015, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sinoid в сообщении #998672 писал(а):
AV_77 в сообщении #998664 писал(а):
Как ни странно, но элемент $x$ лежит в смежном классе $xA$ так как $A$ содержит единичный элемент.

При построении класса берется определенный элемент да и класс состоит из определенных элементов, эти элементы можно увидеть, написать, а вот какие элементы не входят в уже построенные классы, вообще говоря, и не опишешь: как их увидеть?
...

Вы троллите? Вам же ясно НАПИСАЛИ: каждый элемент группы входит в тот смежный класс, который этот элемент порождает. Переберите все элементы группы и каждому из них сопоставьте порождаемый этим элементом смежный класс. Эти классы для разных элементов или совпадают, или не пересекаются. В чем ЕЩЕ проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение01.04.2015, 00:12 


03/06/12
2745
mihailm в сообщении #998678 писал(а):
написано (или подразумевается) доказательство, а его там нет!

Во-первых, я не говорю, что его там нет. Я говорю, что я в рамках своих знаний, его там не вижу и потому придумал свое (почему бы и нет!), близкое и понятное мне. Если вы видите ошибку в нем, укажите на нее. Все остальное у меня (насколько я помню) прекрасно стыкуется, по крайней мере, пока. Во-вторых, мне так и не ответили, допустимо ли мое доказательство, но, судя по вот этому,
bot в сообщении #998536 писал(а):
Зачем всё это?


допустимо. Так ведь?
Kras в сообщении #998677 писал(а):
Я читаю Алексеева-Арнольда "Теорема Абеля", там есть ответ на ваш вопрос. Найдите задачу №60.

Там мое доказательство? Просто скакать с книги на книгу не охото: если доказательство верно, чего топтаться на месте? Я не говорю, что в книге, упомянотой вами, доказательство плохое, просто один и тот же факт можно доказывать по-разному.

-- 01.04.2015, 01:21 --

Brukvalub в сообщении #998681 писал(а):
Вы троллите?

Не имею такой гадкой привычки. А пока извините, пожалуйста, мне ужинать пора. Может, еще сегодня успею что-нибудь написать, а нет-так завтра. Вы уж, пожалуйста не сочтите за труд пообщаться со мной потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение01.04.2015, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Наконец-то, я понял, в чем проблема! Классики написали так, что вы их не поняли, поэтому это непонимание вы поставили в вину именно классикам. Ну, не себя же вам винить! :D
"Ваше" доказательство - "кривое", после его прочтения у начинающего непременно возникнет масса нелепых вопросов. Именно поэтому опытные педагоги его не приемлют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение01.04.2015, 00:27 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Sinoid в сообщении #998692 писал(а):
Там мое доказательство?

Нет. Но там очень простое доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы и подгруппы
Сообщение01.04.2015, 01:00 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Brukvalub в сообщении #998681 писал(а):
Эти классы для разных элементов или совпадают, или не пересекаются

Подскажите, пожалуйста, почему для разных элементов смежные классы могут совпасть? Не очень это понимаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group