2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение31.03.2015, 19:21 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Munin в сообщении #998595 писал(а):
Собственно, при коллапсе сверхновой в сам релятивистский объект уходит далеко не вся масса звезды, а немалая часть распыляется вдребезги в пространстве (так возникает планетарная туманность).
Только не планетарная туманность, а остаток вспышки сверхновой. Планетарная туманность - это тихо-мирно сброшенная оболочка красного гиганта, без всяких коллапсов и прочих шумных спецэффектов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение31.03.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, прошу прощения. Я полагал, что планетарная туманность образуется последовательно из обоих источников (сначала из звёздного ветра красного гиганта, потом из вещества, оставшегося при коллапсе), и поленился уточнить. Я не знал, что только из одного.

-- 31.03.2015 20:00:50 --

Pphantom
Вот если бы вы по угловому моменту прояснили вопрос...

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение31.03.2015, 20:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Munin в сообщении #998609 писал(а):
Я полагал, что планетарная туманность образуется последовательно из обоих источников (сначала из звёздного ветра красного гиганта,
Строго говоря, это и не звездный ветер. Это именно внешняя оболочка гиганта, отделяющаяся от ядра как целое, а не сдуваемая постепенно.

Munin в сообщении #998609 писал(а):
Вот если бы вы по угловому моменту прояснили вопрос...
Боюсь, что это никто толком сделать не сможет. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Что-то совсем перестал понимать. Сброшенная тихо-мирно, но не звёздным ветром? Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 01:08 
Заслуженный участник


20/08/14
11059
Россия, Москва
Не тихо-мирно, а единомоментно в процессе взрыва, как (почти) единое целое, а не в процессе жизни звезды в форме звёздного ветра. Я понял как-то так. Плюс ветер почти равномерно рассеивается, а сброшенная оболочка всё равно остаётся со значительной радиальной флуктуацией плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 01:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Munin в сообщении #998721 писал(а):
Что-то совсем перестал понимать. Сброшенная тихо-мирно, но не звёздным ветром? Это как?
Dmitriy40 в сообщении #998726 писал(а):
Не тихо-мирно, а единомоментно в процессе взрыва, как (почти) единое целое, а не в процессе жизни звезды в форме звёздного ветра. Я понял как-то так.
Так, похоже, я всех запутал, нужно объяснять подробнее.

Когда звезда стала красным гигантом, у нее образуется протяженная водородная оболочка (собственно, гигантом ее и делающая). Затем с ядром звезды происходят разные процессы, которые нас сейчас не интересуют, а из внешней оболочки происходит достаточно существенное истечение вещества в виде звездного ветра.

Однако, на определенной стадии эволюции, оболочка как целое отделяется от ядра и начинает постепенно расширяться в пространстве. Это, в отличие от истечения звездного ветра, "разовое" и довольно быстрое (порядка $10^4$ лет) явление, не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами. Собственно, эта самая оболочка после некоторого расширения и называется планетарной туманностью. Механизм отделения оболочки неясен, по этому поводу есть разные мнения. В принципе, один из них связан со звездным ветром, но предполагает, что в некоторый момент, когда ядро (которое уже почти стало центральной звездой планетарной туманности) сжимается, то световое давление в оболочке растет, интенсивность и скорость звездного ветра резко увеличиваются, и получившийся высокоскоростной ветер "сгребает" вещество, натекшее за время существования красного гиганта за счет обычного ветра, в сравнительно тонкий и плотный слой.

А вот к взрыву сверхновой планетарные туманности совсем никакого отношения не имеют. Звезда, оставшаяся в центре (бывшее ядро) - это будущий белый карлик, нейтронизация которого (и, соответственно, вспышка в виде сверхновой) исключена - массы не хватит. В Галактике центральные звезды планетарных туманностей, кажется, больше $0.8~\mathfrak{M}_\odot$ не бывают, по другим галактикам можно найти до $\approx 1~\mathfrak{M}_\odot$, но это все равно меньше предела Чандрасекара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 02:24 
Заслуженный участник


20/08/14
11059
Россия, Москва
Pphantom в сообщении #998736 писал(а):
не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами.
Благодарю за разъяснения, я действительно отождествлял сброс оболочки с процессами в ядре (взрывом).

(поторопился и неправильно назвал)

Точнее я опять поторопился и криво сформулировал, там не взрыв, а остывание ядра после сброса оболочки и прекращение ядерных реакций, взрывом это я назвал некорректно, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 12:46 


02/11/11
1310
Munin в сообщении #998595 писал(а):
Хотя картина сложна и едва ли понята даже в общих чертах.

Да. Я со своей стороны надеюсь, что эти утверждения на Scholarpedia взяты не с потолка. Вероятно, кто-то уже занимался моделированием этих задач. Но к слову, помнится мне, что у нейтронных звезд спин доходит до $0.5$.

Munin в сообщении #998595 писал(а):
Какое-нибудь слияние двух чёрных дыр - тоже может произойти только при не слишком большом угловом моменте.

Почему? Если они вращаются вокруг общего центра масса и, теряя энергию с гравитационными волнами, приближаются друг к другу, то куда они денутся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 14:28 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #998151 писал(а):
Ускорение свободного падения находим из уравнения геодезической при $u^{\mu}=(1/\!\sqrt{g_{tt}},0,0,0)$:
$$\begin{gathered}\dfrac{d^2r}{ds^2}=-\Gamma^r_{\mu\nu}u^\mu u^\nu,\quad\Gamma^r_{tt}=\dfrac{r_g}{2r^2}\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)\\a=\dfrac{d^2\widetilde{r}}{ds^2}=-\sqrt{g_{rr}}\,\Gamma^r_{tt}g_{tt}^{-1}=-\dfrac{r_g}{2r^2}\dfrac{1}{\sqrt{1-r_g/r}}=-\dfrac{k}{2r_g}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)^2,\end{gathered}$$ где $d\widetilde{r}$ - радиальная координата в местном масштабе
Ой-ой-ой... Какой стыд и срам! :facepalm:

Во-первых, ракета с включёнными двигателями по геодезической не движется $\frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} \ne 0$

Во-вторых, ускорение испытываемое ракетой вычисляется по формуле $w^{\mu} = \frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds}$.

В частности, свободно падающее тело не испытывает ускорения $w^{\mu} = 0$, то есть движется по геодезической $\frac{d^2 x^{\mu}}{d s^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{dx^{\alpha}}{ds} \frac{dx^{\beta}}{ds} = 0$.

Я недавно решал задачку об ускорении испытываемом ракетой движущейся радиально со скоростью $v(r)$ относительно неподвижной системы отсчёта:
SergeyGubanov в сообщении #975814 писал(а):
С радиальным движением можно придумать немного другую задачку.

Задачка 2. Ракета летит чисто радиально с переменной скоростью $v(r)$ относительно системы отсчёта неподвижной относительно гравитирующего небесного тела. Что показывает акселерометр установленный в ракете?

План решения. Лоренцевским бустом тетрады неподвижной системы перейти в систему отсчёта движущейся радиально со скоростью $v(r)$. Найти четырёхскорость и четырёхускорение движущейся системы. Спроектировать четырёхускорение на тетраду движущейся системы отсчёта (эти проекции и будут показаниями акселерометра установленного в ракете).

Поехали...

Метрика (в системе координат Пенлевэ):
$$
ds^2 = dt^2 - \left( dr + \sqrt{\frac{a}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) d\varphi^2
$$
Система отсчёта неподвижная относительно небесного тела (назовём её -- системой отсчёта Шварцшильда):
$$
e_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}, \quad
e_{(1)} = \frac{\sqrt{\frac{a}{r}}}{\sqrt{1-\frac{a}{r}}} \, \frac{\partial}{\partial t}
+ \sqrt{1-\frac{a}{r}} \, \frac{\partial}{\partial r}, \quad
e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad
e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}.
$$
Система отсчёта движущаяся радиально со скоростью $v(r)$ относительно системы отсчёта Шварцшильда:
$$
e'_{(0)} = \frac{1}{ \sqrt{1-v^2} } \left( e_{(0)} + v \, e_{(1)} \right) = 
\frac{1+v \sqrt{ \frac{a}{r} } }{ \sqrt{1 - \frac{a}{r}} \sqrt{1 - v^2} } \frac{\partial}{\partial t}
+ \frac{v \sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}} \frac{\partial}{\partial r}
$$
$$
e'_{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \left( v \, e_{(0)} + e_{(1)} \right) =
\frac{v + \sqrt{ \frac{a}{r} }}{ \sqrt{1 - \frac{a}{r} } \sqrt{1 - v^2} }\frac{\partial}{\partial t}
+ \frac{\sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}} \frac{\partial}{\partial r}
$$
$$
e'_{(2)} = e_{(2)} = \frac{1}{r} \, \frac{\partial}{\partial \theta}
$$
$$
e'_{(3)} = e_{(3)} = \frac{1}{r \, \sin\theta} \, \frac{\partial}{\partial \varphi}
$$
Четырёхскорость движущейся системы
$$
u^{\mu} = e'^{\mu}_{(0)} = \left\{  \frac{1+v \sqrt{ \frac{a}{r} } }{ \sqrt{1 - \frac{a}{r}} \sqrt{1 - v^2} },
\frac{v \sqrt{1 - \frac{a}{r}}}{\sqrt{1-v^2}}, 0, 0 \right\}.
$$
Четырёхускорение:
$$
w^{\mu} = u^{\alpha} ( D_{\alpha} u^{\mu} ) = u^{\alpha} \partial_{\alpha} u^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta}
$$
Проекции четырёхускорения на орты движущейся системы отсчёта:
$$
w'^{(a)} = w^{\mu} e'^{(a)}_{\mu} =
\left\{0, \;
\frac{a}{2 r^2 \sqrt{1 - \frac{a}{r} }} \frac{ 1 - v^2 + 2 r \left( \frac{r}{a} - 1\right) v \frac{dv}{dr}  }{ \left( 1 - v^2 \right)^{3/2} }, \; 0, \; 0
\right\}
$$

Немножко проанализируем полученный ответ.

1) Если $ \frac{dv}{dr} = 0$, то получаем формулу для ускорения из прошлой задачи взятую при $\theta = 0$ с мнемоническим правилом (которое напоминает чего-то до боли знакомое):
$$
M \to \frac{M}{\sqrt{1 - v^2}}
$$

2) Решая уравнение
$$
1 - v^2 + 2 r \left( \frac{r}{a} - 1\right) v \frac{dv}{dr}  = 0
$$
получаем, что свободно падающей системе отсчёта соответствует
$$
v(r) = - \sqrt{ \frac{a}{r} }
$$
что и было понятно с самого начала (из явного вида метрики в координатах Пенлевэ).


Для зависшей ракеты надо подставить $v= 0$ и $a = \frac{2 k M}{c^2}$:
$$
w^{(a)} =
\frac{1}{c^2} \, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 k M}{c^2 r} }} \left\{0, \;
\frac{k M}{r^2}, \; 0, \; 0
\right\}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 15:11 


11/12/14
893
Давно любопытствовал, но гугл не помогал.
Видел/знает кто точную формулу для того какой коэффициент замедления времени будет у сферического тела массой $M$ и радиусом $R$ (равномерная плотность), в зависимости от высоты над поверхностью $r$ в бесконечно удалённой ИСО? Всё что находил поиском оно для слабых гравиполей и там видно что формула вырождается когда $g$ в какой то пропорции вступает с $c$, так что вместо стремления замедления к бесконечности при критических параметрах оно как то не так себя ведет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 15:44 


02/11/11
1310
aa_dav
Я не вижу отличий от обычного случая с шварцшильдовой метрикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 17:39 


11/12/14
893
KVV в сообщении #998917 писал(а):
Я не вижу отличий от обычного случая с шварцшильдовой метрикой.


У Шварцильда сразу же сингулярность. А как насчёт Юпитера, два юпитера, 100 юпитеров, эннадцать юпитеров - какая формула, если я сяду на поверхность произвольной планеты с массой $M$ по сравнению с бесконечно удаленной ИСО? Так понятнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 18:10 


02/11/11
1310
На поверхности планеты радиусом $R$? Ровно та же, что и в метрике Шварцшильда на расстоянии $R$ от центра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 18:41 


11/12/14
893
KVV в сообщении #998985 писал(а):
На поверхности планеты радиусом $R$? Ровно та же, что и в метрике Шварцшильда на расстоянии $R$ от центра.


Спасибо, значит преемственность сильная, это радует.
А что получается в метрике Шварцильда? Я действительно не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова вопрос о падении в чёрную дыру
Сообщение01.04.2015, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pphantom в сообщении #998736 писал(а):
Однако, на определенной стадии эволюции, оболочка как целое отделяется от ядра и начинает постепенно расширяться в пространстве. Это, в отличие от истечения звездного ветра, "разовое" и довольно быстрое (порядка $10^4$ лет) явление, не сопровождающееся, однако, какими-то резкими изменениями в структуре ядра, в частности, взрывами.

Изображение Ничего себе!

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):
В принципе, один из них связан со звездным ветром

Вот, видимо, от этого я плясал. Это объекты типа Вольфа-Райе, я правильно понял? Их тоже описывают в терминах "звёздный ветер", хотя подчёркивают, что он сильный. Я думал, это просто количественное отличие, а не качественно другое понятие.

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):
А вот к взрыву сверхновой планетарные туманности совсем никакого отношения не имеют. Звезда, оставшаяся в центре (бывшее ядро) - это будущий белый карлик, нейтронизация которого (и, соответственно, вспышка в виде сверхновой) исключена - массы не хватит.

Ну а из чего тогда сверхновые вспыхивают? Из голубых гигантов? Сверхгигантов? Из тесных двойных only? (Я говорю про коллапсные сверхновые, а не SNe Ia.) В Wikipedia дана табличка http://en.wikipedia.org/wiki/Supernova#Core_collapse , где начальные массы звёзд-предшественников меняются в диапазоне $8\text{--}250 M_\odot.$

Pphantom в сообщении #998736 писал(а):
В Галактике центральные звезды планетарных туманностей, кажется, больше $0.8~\mathfrak{M}_\odot$ не бывают, по другим галактикам можно найти до $\approx 1~\mathfrak{M}_\odot$, но это все равно меньше предела Чандрасекара.

Значит, туманности вокруг нейтронных звёзд (ну хотя бы Крабовидная) имеют какое-то другое название?

-- 01.04.2015 19:53:28 --

KVV в сообщении #998853 писал(а):
Почему? Если они вращаются вокруг общего центра масса и, теряя энергию с гравитационными волнами, приближаются друг к другу, то куда они денутся?

Потому что в момент слияния они должны иметь скорость по касательной $\sim c,$ чтобы получить отношение углового момента к массе порядка 1. А это, мне кажется, маловероятно. Может быть, там даже возникает множитель (порядка единицы, но меньше её), преодолеть который они не могут.

aa_dav в сообщении #998974 писал(а):
У Шварцильда сразу же сингулярность. А как насчёт Юпитера, два юпитера, 100 юпитеров, эннадцать юпитеров

У любого сферически-симметричного гравитирующего тела вне его - будет метрика Шварцшильда. Просто при движении к телу, поверхность тела возникает раньше, чем гравитационный радиус.

aa_dav в сообщении #998997 писал(а):
А что получается в метрике Шварцильда? Я действительно не знаю.

Метрика Шварцшильда такая простая, что её можно запомнить наизусть:
$$\begin{gathered}ds^2=\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)dt^2-\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{r_g}{r}\right)}dr^2-r^2\,d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2,\\r_g\equiv 2GM,\qquad c=1.\end{gathered}$$ Теперь достаточно подставить $dr=d\theta=d\varphi=0$ для неподвижной (в координатах Шварцшильда) точки, и получим:
$$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{1-\dfrac{r_g}{r}}.$$ Вот это и будет коэффициент замедления времени, точный, а не приближённый. Но тут надо дополнительно быть в курсе, что такое координата $r$: это не такая координата, которую вы измерите рулеткой по радиусу, а такая, которая соответствует длине окружности (обёрнутой вокруг тела) $2\pi r.$ А расстояние по рулетке можно найти, подставив в ту же формулу метрики $dt=d\theta=d\varphi=0,$ и получится:
$$\dfrac{|ds|}{dr}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r_g}{r}}}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group