2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение09.03.2017, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
g______d
Инвариантный способ, конечно, есть, но я говорил даже не о том.
Допустим мы побили отрезок $[-N..N]$ на отрезки длиной не более $\varepsilon$ выбрали в каждом таком отрезке по точке и приблизили функцию $f$ очевидным образом. Так вот, несобственный интеграл выглядит как $\lim_{N \to \infty}\lim_{\varepsilon \to 0}$, а собственный интеграл как $\lim_{N \to \infty, \varepsilon \to 0}$. И в этом их основное отличие: разница тут такая же, как между повторным пределом, который непонятно вообще что и двойным пределом, который имеет ясный смысл; а то, что структурно обе конструкции являются пределом некоторых кусочно-константных приближений (по крайней мере их так традиционно рассказывают) это конечно же да.

Про приложения и прочее: я не говорил, что в угоду концепций нужно от чего-то отказываться. Конечно, мне очень нравится фантазм Гротендика, в котором любое доказательство должно проводиться шевелением мизинца где-то в небесах, и проблема, как карточный домик, путём этого шевеления должна рассыпаться сама, вплоть до самого грубого, телесно-грешного уровня. Я понимаю, что на сегодняшний момент очень часто приходится "копаться в мясе", что называется. Я просто за то, чтобы говорить, что, типа: "интеграл Лебега" - это, значит, концепт, а "интеграл несобственный, в смысле ГЗ, Хэнстока-Курцвейля, в смысле Рамануджана" - это ad hoc.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 16:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):
Теперь мы расширяем понятие меры: прежде всего внешняя мера $X$ это инфимум мер всех измеримых множеств его содержащих, а внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся.

Теперь, если эти меры совпадают, мы называем $X$ измеримым, ну и приписываем соответствующую меру.

Интересно, как можно определять измеримость множеств через их измеримость?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
ewert в сообщении #1199110 писал(а):
Интересно, как можно определять измеримость множеств через их измеримость?...
Ключевое слово: расширяем. У нас были "старые" измеримые множества (в данном случае, по Борелю) и через них мы определили "новые" (в данном случае, по Лебегу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 17:07 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Red_Herring в сообщении #1199116 писал(а):
У нас были "старые" измеримые множества (в данном случае, по Борелю)

Они были измеримы не в этом смысле. Мера Бореля -- это уже потом, как сужение меры Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
ewert в сообщении #1199123 писал(а):
Они были измеримы не в этом смысле. Мера Бореля -- это уже потом, как сужение меры Лебега.
Исторически да. Но логически можно начать с меры Бореля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5033
И начинают. Вот Колмогоров с Фоминым, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 19:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Anton_Peplov в сообщении #1199183 писал(а):
И начинают. Вот Колмогоров с Фоминым, например.

Не-а. Колмогоров-Фомин излагают вполне классически, определяя внешнюю меру Лебега через счётно-прямоугольные области.

А внутренней меры Лебега у них и вовсе нет. Во всяком случае, при построении просто меры. А если б им захотелось ввести, то определили бы они её, разумеется, вовсе не как

Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):
внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся

(Собственно, именно этот момент в том сообщении меня больше всего и обидел; путаница с измеримостями -- это уже так, семечки; естественно, я смутно догадывался, что имелось в виду, но смутно, потому и задал вопрос в провокационной форме.)

А меры Бореля там вроде и вовсе нет. Борелевская сигма-алгебра -- естественно, есть; измеримость по Борелю функций -- тоже естественно; а мера -- ну зачем она им?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
Подождите. Я никогда не утверждал, что то, как я описывал с целью приблизиться к античности, единственный, или хотя бы наилучший подход. Первый и последний раз я читал студентам ТМ 23 года назад, строго по КФ. И никогда не пробовал, как я описал.

Итак, следуя КФ рассмотрим счетно-прямоугольные области. Прямоугольники разрешим с кусками границы. Правда, потребуем их параллельности осям. Тем самым получим любые открытые. Т.е. любые открытые стали измеримыми на этом этапе. Ну и для любого множества, введем внешнюю меру.

Их (открытых) дополнения до большого прямоугольника тоже стали измеримыми, поскольку их мера это разность мер (для простоты ограничимся подмножествами большого прямоугольника). Т.е. замкнутые множества уже измеримы на этом этапе. В некоторых учебниках вводится внутренняя мера--через меру дополнения (до большого прямоугольника). Но теперь внутреннюю можно ввести уже без ссылок на внешнюю (мы уже раз использовали дополнения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 22:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):
Т.е. любые открытые стали измеримыми на этом этапе.

Не-а. Не стали. Поскольку понятия измеримости пока что тупо ещё нет.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):
Ну и для любого множества, введем внешнюю меру.

Это-то мы можем, да.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):
Их (открытых) дополнения до большого прямоугольника тоже стали измеримыми, поскольку их мера это разность мер

Нет, не стали, поскольку тупо нет меры.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):
В некоторых учебниках вводится внутренняя мера--через меру дополнения

Да. Вводится. И вот тут-то и принципиальное отличие (второе, вдобавок к счётности прямоугольностей) Лебега от Жордана. Некоторые т.т. (те же КФ) маскируют этот момент, говоря о разностях множеств вместо дополнений. Однако суть схемы от этого не меняется.

Ну что Вы хотите. Не бывает чудес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
ewert в сообщении #1199273 писал(а):
Поскольку понятия измеримости пока что тупо ещё нет.

На каждом этапе у нас есть понятие измеримости. Ну скажем измеримые нулевого дана (прямоугольные), второго дана (счетно-прямоугольные), и т.д. Безусловно, мера определяемая на каждом этапе ещё не является счётно-аддитивной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 23:12 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Red_Herring в сообщении #1199280 писал(а):
На каждом этапе у нас есть понятие измеримости.

Нет.

Мера -- это аддитивная (или счётно-аддитивная) функция множества, определённая на некотором семействе множеств. Для которого это определение является корректным. И точка.

Любая попытка размягчить это определение приведёт лишь к размягчению же мозгов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
Хорошо, пусть будет квазимера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение11.03.2017, 23:54 
Заслуженный участник


11/05/08
31270
Да выдумать-то можно какую угодно фразеологию. А вот придать ей точный математический смысл -- мало того, что надо постараться, так и ещё не факт, что выйдет полезно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 133 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group