2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6874
Hogtown
Munin в сообщении #1197852 писал(а):
Ну, вы на него так уверенно ссылаетесь.

Вопрос про теорию множеств остался. И про алгебру и анализ, что придёт в голову, тоже накидайте.

Я ни на какой список не ссылался, но при чтении курса я всегда стараюсь начать тот или иной раздел, то или иное определение с мотивировки.

Про теорию множеств я написал (но я ее никогда не читал). Алгебру я не преподавал, и не собираюсь, и потому мыслей о мотивировках, кроме основных понятий линейной алгебры у меня особых нет. В анализе, включая УЧП и ДУ, я мотивирую основные определения (ну и объясняю, зачем надо изучать). Но это длинный разговор, и сейчас у меня времени на него нет.

Опять об интеграле Лебега. Теорию меры по существу древние знали: внутренняя мера, внешняя (метод исчерпывания). Но вот почему мы должны интегрировать по мере? Ответ: ну хотя бы потому, что интегрировали по длине, площади, когда изучали интеграл Римана. А если сразу по мере, то две идеи склеиваются, как пельмени у плохой хозяйки

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1491
Munin в сообщении #1197840 писал(а):
Изображение Простите, а где здесь теория множеств? Это же просто аналитическая геометрия.

Безусловно. Но её нельзя сформулировать без понятия множества (или, по крайней мере, затруднительно и не нужно).
Вопрос был в том, как мотивировать для школьников введение понятия множества.
Если под "теорией множеств" понималось что-то более продвинутое, типа мощностей и т.д., то я неправильно понял вопрос. (Хотя и здесь мотивировку я бы придумал.) Просто мне показалось, что вопрос стоит о той теории множеств, которую рассказывают школьникам - а школьникам её рассказывают, насколько я знаю, на уровне объединений и пересечений, и диаграмм Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63031
Red_Herring в сообщении #1197885 писал(а):
А если сразу по мере, то две идеи склеиваются, как пельмени у плохой хозяйки.

Так это получается мотивировка или анти-мотивировка? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6874
Hogtown
анти-мотивировка. Я же сказал "у плохой хозяйки".

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1267
Red_Herring в сообщении #1197839 писал(а):
Хочется расширить понятие интеграла, обладающего определенными свойствами. А вот эти свойства проявились в изучении интеграла Римана. Кроме того, есть условно сходящиеся несобственные интегралы Римана--они не покрываются Лебегом. Разумеется, можно ввести интеграл Лебега, а потом несобственный ИЛ. Но тут разрыв шаблона: раньше мы хватали множества, на которых функция принимает какие-то значения, не заботясь ни о чём, а тут какой-то отрезок, который расширяется. В ИР это естественно, и потому естественно обобщается на ИЛ.

Это тот же аргумент концептуальности, только с промежуточным шагом в виде того, что "вот вы знали до этого не слишком концептуальное понятие, а сейчас узнаем нормальное". То есть это мотивировка, конечно, но без этого промежуточного шага можно обойтись.

Про несобственные интегралы - мне кажется это понятие чисто инструментальное, поэтому ни в какой хороший контекст оно быть вписано не может и нужно честно так и признаваться "это такой вот технический трюк, который иногда может сработать, а иногда нет". Если проводить аналогию: разница такая же, как между когомологиями Гротендика (которые $R^i F$) и когомологиями Чеха, первое понятие концептуальное и инвариантное (и инвариантную запись находит в формализме производных категорий), а второе - инструментальное и трюковое, хоть оно и формально тоньше в том смысле, что может различать более широкий класс пространств и их легче считать. Ну и точно так же интеграл Лебега ~ несобственный интеграл Лебега, никакого инвариантного взгляда на второе быть не может. И опять же, предварительное знание промежуточного звена в виде несобственного интеграла Римана не даёт какую-то дополнительную прочную мотивировку, а спускает немотивированность на этот самый интеграл Римана. Я не вижу, почему

Red_Herring в сообщении #1197839 писал(а):
В ИР это естественно


мы сначала брали предел по фильтру разбиений отрезка, а потом, вместо того, чтобы брать предел по фильтру разбиения прямой на отрезки (что даст "беззнаковый интеграл Римана") мы почему-то просто раздуваем отрезок. Неестественность точно такая же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6874
Hogtown
kp9r4d в сообщении #1197912 писал(а):
Неестественность точно такая же.

Если вам это кажется неестественным, то только в силу противоестественности ваших концепций

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1267
Hmmm. Если вам это кажется естественным, то только в силу противоестественности ваших концепций.

(Оффтоп)

Больше не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63031
Red_Herring
Тогда, видимо, у меня они уже слиплись. Что такое внутренняя и внешняя мера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение07.03.2017, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4278
kp9r4d в сообщении #1197912 писал(а):
мы сначала брали предел по фильтру разбиений отрезка, а потом, вместо того, чтобы брать предел по фильтру разбиения прямой на отрезки (что даст "беззнаковый интеграл Римана") мы почему-то просто раздуваем отрезок. Неестественность точно такая же.


В интеграле Лебега при переходе к бесконечному интервалу и неограниченной функции точно так же приходится раздувать -- или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1267
Мне кажется нет, раздутие - это нечто такое, что можно осуществлять только в $\mathbb{R}$ (или, на крайний случай, в $\mathbb{R}^n$) а интеграл Лебега определён для любой функции $\to [0..+\infty]$ для любого пространства с мерой одинаковым образом. А интеграл от функции $\to \mathbb{R}$ определяется как $\int f^+ - \int f^-$ (в том случае, когда оба интеграла $< \infty$).

А когда раздувают в $\mathbb{R}^n$ то как раз называется "несобственным интегралом Лебега".

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 04:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4278
kp9r4d в сообщении #1198022 писал(а):
Мне кажется нет, раздутие - это нечто такое, что можно осуществлять только в $\mathbb{R}$ (или, на крайний случай, в $\mathbb{R}^n$) а интеграл Лебега определён для любой функции $\to [0..+\infty]$ для любого пространства с мерой одинаковым образом. А интеграл от функции $\to \mathbb{R}$ определяется как $\int f^+ - \int f^-$ (в том случае, когда оба интеграла $< \infty$).


Ну там есть некоторая тонкость, если мера всего пространства бесконечна. Я не знаю, может быть, есть какой-то умный и инвариантный способ это сделать, но наиболее пафосные учебники, наоборот, строят его для простых функций (ограниченных и с носителем конечной меры, и к тому же принимающих нбч счётное число значений), а потом распространяют. Т. е. конструкция, аналогичная как раз несобственному интегралу Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6874
Hogtown
Munin в сообщении #1197987 писал(а):
Тогда, видимо, у меня они уже слиплись. Что такое внутренняя и внешняя мера?

Допустим, мы научились находить меру какого-то класса множеств. Для современных математиков и стандартной Лебеговой меры (ну еще не совсем) это элементы сигма алгебры, порождаемой прямоугольниками (т.е. борелевской), а для древних греков--многоугольников и многогранников. Теперь мы расширяем понятие меры: прежде всего внешняя мера $X$ это инфимум мер всех измеримых множеств его содержащих, а внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся.

Теперь, если эти меры совпадают, мы называем $X$ измеримым, ну и приписываем соответствующую меру. От меры Бореля к мере Лебега. Повторение процедуры ничего нового не дает.

-- 08.03.2017, 04:25 --

Отказываться в угоду концепции от несобственных интегралов и интегралов в смысле главного значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63031
Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):
Теперь мы расширяем понятие меры: прежде всего внешняя мера $X$ это инфимум мер всех измеримых множеств его содержащих, а внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся.

Спасибо, ясно! (Я боялся, что-то более сложное.)

Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):
Отказываться в угоду концепции от несобственных интегралов и интегралов в смысле главного значения?

А зачем они нужны-то, несобственные?
В жизни обычно надо везде явно указывать обход полюсов, а не говорить что-то про "главные значения" - напорешься...

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6874
Hogtown
Munin в сообщении #1198083 писал(а):
В жизни обычно надо везде явно указывать обход полюсов, а не говорить что-то про "главные значения" - напорешься..
Ну есть довольно много теорем где "правильно" брать именно г.з. Например при интерпретации $1/x$ как обобщенной функции. И очень много в ТФКП

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...
Сообщение08.03.2017, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12813
Москва
Red_Herring в сообщении #1198085 писал(а):
Ну есть довольно много теорем где "правильно" брать именно г.з. Например при интерпретации $1/x$ как обобщенной функции. И очень много в ТФКП

А еще при обращении преобразования Фурье, при изучении граничного поведения аналитических и гармонических в круге функций и много еще где.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 133 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group