2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение31.10.2007, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
715
Южная Корея
Подождите, сами же сформулировали задачу - есть бесконечный провод с током и рядом конечный отрезок (тока нет). Определить разность потенциалов наводимых в нем при изменении тока в бесконечном проводе. Так почему решили интегрировать по всему пространству от 1-го до 2-го? Откуда 2-й (отрезок) узнает о 1-м? Он должен реагировать только на поле, которое его непосредственно пересекает, а оно известно. Значит логично будет интегрировать только по сечению провода. Кстати радиус бесконечного проводника вообще не причем - на поле вне провода он совершенно не влияет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2007, 22:13 


25/10/07
83
Москва
Разность потенциалов в данном случае определяется как \[
U = E\Delta L
\] (Е постоянно по длине).
Напряженность же электрического поля вдоль проводника определяется не по формуле \[
E =  - \frac{{dB}}{{dt}}
\], а по формуле \[
\vec E =  - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\], где А - векторный потенциал. Есле не верите моему выводу, то строгий вывод зависимости для определение «векторного потенциала» в точке, находящейся на расстоянии х от бесконечного проводника с током приведен в книге А.Анго "Математика для электро и радио инженеров" на стр. 152 -153 (кстати, рекомендую, совершенно замечательная книга - гибрид справочника по математике и справочника по электродинамике). Там приведено следующее выражение для А: \[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 )
\].
Далее \[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln x^2 ) =  - \frac{{2\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I\ln x
\].
Тогда, если \[
\vec E =  - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\] , то:\[
\vec E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln x\frac{{d\vec I}}{{dt}}
\] , и ЭДС (разности потенциалов на концах проводника), наведенная в отрезке \[
\Delta L
\] будет равна:\[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln x\frac{{dI}}{{dt}}
\].
Опять же, выходит, что ЭДС тем больше, чем дальше отрезок от проводника с током. Для прямоугольного контура ABCD (AB и CD имеют длину \[
\Delta L
\] и параллельны бесконечному проводу) выражение будет следующим: \[
[U] = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }}\frac{{dI}}{{dt}}
\], т.к. ЭДС в перпендикулярных проводниках BC и DA не наводится, а ЭДС в AB и CD направлены в одну сторону и вычитаются.
Кроме того, очевидно, что под логарифмом должна стоять безразмерная величина, например, отношение, иначе выражение становится совершенно абсурдным (какая, например, размерность у lnx, если x имеет размерность в метрах?). Следовательно, в первое выражение обязана входить безразмерная величина \[
\ln \frac{x}{X}
\], (где Х - некое расстояние от бесконечного проводника, я считаю от его середины, т. е Х = 0) а не \[
\ln x.
\]. По поводу интегрирования по х - это так получается при определении А, и особого физического смысла не имеет, хотя если вы преобразуете это выражение ( в частности для контура), то получите фарадееву ЭДС E = - dФ/dt так как \[
U = \int\limits_L {Edl = }  - \int\limits_L {\frac{{d\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} }}{{dt}}} dl =  - \frac{{d\Phi }}{{dt}}
\] где \[
\int\limits_L {\int\limits_{x_1 }^{x_2 } {B_x dx} dl}  = \Phi 
\]. Здесь видно, откда "вылазит" знаменитая площадь S, которую "пересекает" поток вектора В - физического смысла никакого, чистый математический формализм.
Для определения U можно также использовать первую формулу уравнение Максвелла \[
rot\vec E =  - \frac{{d\vec B}}{{dt}}
\]. Для элемента проводника, направленного вдоль оси Y она выглядит следующим образом:\[
\frac{{dE_y }}{{dx}} = \frac{{dB_x }}{{dt}}
\]. (Кстати, дополнительно по поводу интегрирования по х: я тут совершенно не при чем, т.к. в формулы входит не grad а rot, т.е. провод-то направлен вдоль у, а вот производная берется по х...Все вопросы к Стоксу).
Так как переменные от x и t – независимые, то:\[
[E] = \frac{{\int {Bdx} }}{{dt}}
\] , то есть формула имеет такой же вид, что и выведенная на основе «векторного потенциала» А (собственно,этого и следовало ожидать), и, соответственно, решения получаются такие же.

Совершенно очевидно, что все эти выражения могут работать только для замкнутого контура.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 05:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
715
Южная Корея
Да, похоже вы правы - для прямоугольного контура, расположенного в одной плоскости с бесконечным проводом и имеющего параллельную с ним сторону, у меня получается такой же результат как у вас для U (я решал непосредственно через поле, не прибегая к векторному потенциалу). То есть мой предыдущий результат совпадает с решением для соответствующего контура, а не отрезка провода. С отдельным отрезком возникает затруднение :roll:. А разность потенциалов в самом деле наводится? Это установлено экспериментально? Интересно как бы это можно проверить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2007, 17:39 


25/10/07
83
Москва
powerZ
Берете кольцевой магнит от динамика, намагниченный по оси. Ломаете его на две части, одну из них переворачиваете и опять соединяете. Получаете кольцевой магнит, состоящий из двух намагниченных в разные стороны половинок (наверху - справа S, слева N, внизу - наоборот). Закрепляете его в шпинделе сверлильного станка (дрели или любого мотора) так, чтобы он вращался вокруг оси. Окружаете его проводящим кольцом, лежащим в плоскости, делящей цилиндрическую поверхность магнита пополам. Раскручиваете магнит. Ток в кольце отсутствует т.к. суммарный магнитный поток через кольцо не меняется (\[
\frac{{d\Phi }}{{dt}} = 0
\]). Теперь измерьте напряжение (осциллографом) в диаметрально противоположных точках кольца и вы увидите синусоидальный сигнал (при 1000 об мин примерно 7 мВ). Т.о. ЭДС наводится независимо в двух половинках кольца (контура) и направлена встречно. В результате суммарная ЭДС в контуре равна нулю, но это только из за компенсации, а не потому, что это принципиально невозможно согласно формуле Фарадея.
На рисунке это было бы нагляднее, но я не знаю, как вводить сюда рисунок.
.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
715
Южная Корея
Цитата:
Теперь измерьте напряжение (осциллографом) в диаметрально противоположных точках кольца


ИМХО с измерениями не всё так просто. Почему бы вам, к примеру было не ответить мне: "возьмите достаточно длинный провод и подавайте на него меняющийся ток; дальше, разместите рядом отрезок провода и осциллографом наблюдайте наводимую разность потенциалов." Но в этом случае мы имеем не отрезок провода, а контур, замкнутый на осциллограф. Конечно можно минимизировать его площадь, попробовать отвязаться от возможной коммон-мод помехи и т.п. Но всё же желательно представлять, что же мы должны в итоге намерять. Я сказал, что с отрезком провода есть некое затруднение (поскольку уравнение Максвелла дает сведения только о производной напряженности электрического поля):

$\frac {dE_z}{dx}=\frac{ \mu}{2 \pi x } \cdot \frac{dI}{dt}$

и если просто взять интеграл по $x$ в правой части, то получается ерунда - поле $E_z$ возрастает с ростом расстояния $x$. Что Вы и упоминали ранее. Значит, есть какая-то ошибка, или что-то не учтено. Вообще надо будет посмотреть в литературе. Не может быть чтобы этот вопрос нигде не рассматривался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2007, 19:02 


25/10/07
83
Москва
powerZ
Я сильно сократил описание эксперимента. Он подробно, со всеми влияющими факторами, описан в моей статье "Часть 2 Фарадеев механизм, тангенциальная индукция и электромашины, основанные на этом принципе", опубликованной 10, 03,2007 (сайт http://new-idea.kulichki.net раздел "Физика". Часть 1, посвещенная униполярникам, там тоже есть). Там, в частности, подробно (экспериментально) рассмотрено влияние внешних проводников на сигнал. Была проделана куча экспериментов и в результате разработаны несколько генераторов с полукольцевыми проводниками. Пересказать содержание статьи на одной странице физически невозможно.
Но, коротко:
Внешние проводники, соединяющие точки кольца с осциллографом дают порядка 1.5 мВ сигнала трапецеидальной формы и части внешнего проводника, находящиеся на расстоянии порядка 2 см от магнита практически не влияют (это для фарадеевой индукции - для лоренцевой влияет весь контур и поэтому, например, нельзя сделать многовитковый униполярник.). В таких измерениях осциллограф очень помогает, так как дает форму сигнала, позволяющую определить источник ЭДС. Например, ЭДС в движущимся проводнике полностью повторяет все неоднородности поля, в котором он движется, а если движется неоднородное поле, поводник стоит, то неоднородности дифференцируются - это очень хорошо видно на экране.
Кстати, в этом эксперименте достаточно полукольца - сигнал будет такой же. Можно окружать вращающийся магнит вначале сектором и увеличивая до полного кольца - результат будет поучительный. Кстати, в данной конструкции тангенциальные (направленные вдоль вектора скорости) проводники не создают (при нагрузочном токе) амперовых сил и не тормозят ротор. Вобщем, получается, что лоренцев механизм (ЭДС в движущемся проводнике и сила Ампера) и фарадеев (фарадеева ЭДС, силы он не создает) есть совершенно разные механизмы с разными свойствами.
Это вопрос отдельный и весьма сложный и быть уверенным на 100% я не могу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2007, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
715
Южная Корея
Всёже для гармонического сигнала эта задача решается. Я например решил. Хотя может быть не вполне строго. В двух словах: сначала формулируем уравнение для напряженности магнитного поля вне провода (в циллиндрических координатах). Провод кстати с конечным радиусом $r$. Это уравнение Бесселя 1-го порядка. Общее решение известно, но надо определить два коэффициента C1, C2. Для этого надо иметь систему из двух уравнений. Первое уравнение простое - это значение поля $H_\phi$ в точке $r$. Его можно взять из условия квазистатики то есть вычислить из циркуляции по окружности провода (кстати в этом и есть приближение). Далее из закона полного тока получаем соотношение для составляющей $E_z$ в вакууме через угловую составляющую поля $H_\phi$. Теперь полагаем, что на границе медь-вакуум, поле Ez сохраняется в неизменном виде (условие непрерывности). $Ez$ в проводе в точке $r$ можно найти из решения задачи о скин эффекте (опят-таки квазистатика). Откуда получаем второе уравнение, содержащее искомые коэффициенты C1, C2. Решая систему находим эти коэффициенты (они выражаются в конечном итоге через значения функций Бесселя 0-го и 1-го порядка в точке $r$). Таким образом имеем решение как для поля $H_\phi$ так и для поля $E_z$ в зависимости от расстояния $r$. Решение для электрического поля выглядит так: амплитуда сначала нарастает при удалении от провода, потом спадает и в итоге начинает колебаться по координате $r$ с длиной волны, примерно соответствующей частоте сигнала. Поле $H_\phi$ при этом (на большом расстоянии) сдвинуто приблизительно на $\pi/2$, что соответсвует картине распространения ЭМ волны в пространстве. Думаю, что мое приближение (взять граничные условия из квазистатики), при решении этой задачи оправдано, т.к. волновой характер процесса начинает проявляться только на очень большом удалении от провода.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2007, 14:06 
Аватара пользователя


25/08/07

572
с Уралу
Мужики, а слабо просто посмотреть "металлоптику" ...
..можно в физической энциклопедии...там вроде все расписано...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2007, 19:31 


25/10/07
83
Москва
Морозову
Нет в металлооптике учета токов смещения. Там проводимость металлов сводится к поглощению по закону Бугера \[
I = I_0 e^{ - \alpha z} 
\]. В результате преобразований получается формула с комплексным коэффициентом преломлениия \[
n^'  = n(1 - \nu i)
\], где \[
\nu  = \frac{{\alpha \lambda }}{{4\pi }}
\]. (см Ландсберга, Дятлова (переделанный студентами Детлаф) и проч.).
Кстати, токи смещения в проводнике как раз и вызывают отражение электромагнитной волны. Это очень хорошо знают радисты-практики (классическая ситуация, когда практики знают предмет лучше теоретиков). Очень коротко:
В проводящих стержнях электрическая составляющая электромагнитной волны наводит переменную ЭДС, вызывающую периодическое смещение зарядов, т.е. переменный ток (в разомкнутом проводнике). Это вызывает появление вторичной электромагнитной волны. Интерференция этих волн (от многих проводников) и приводит к отражению. Это очень широко используется в антеннах. Кстати, коэффичиент отражения зависит и от диаметра проводника, уменьшаясь при его уменьшении (чем не просветление, правда в металлоптике это связано с вовлечением связанных электронов). Интересующимся рекомендую Мейнке "Радиотехнический справочник" (книга, правда, старая 1960-го, но хорошая) или Сколник "Справочник по радиолокации" Т 1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group