Следует ли сигма-аддитивность меры из ее непрерывности?

[Anton_Peplov]

Мера $m(A)$ называется непрерывной, если для любой убывающей последовательности вложенных друг в друга измеримых множеств $A_1\supset A_2\supset A_3 \supset... $ и их пересечения $A = \bigcap\limits_{i}^{}A_i$ верно $m(A) = \lim\limits_{i\to\infty}^{}m(A_i)$, или, что то же, для любой возрастающей последовательности вложенных друг в друга измеримых множеств $A_1\subset A_2 \subset ....$ и их объединения $A = \bigcup\limits_{i}^{}A_i$ верно $m(A) = \lim\limits_{i\to\infty}^{}m(A_i)$.

Мера называется $\sigma$-аддитивной, если для любой последовательности $\{B_i\}$ попарно не пересекающихся измеримых множеств и их объединения $B = \bigcup\limits_{i}^{}B_i$ верно $m(B) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} m(B_i)$.

Вопрос: следует ли $\sigma$-аддитивность меры из ее непрерывности?

Попробуем доказать, что следует. Пусть мера $m$ непрерывна. Рассмотрим последовательность $\{B_i\}$ попарно не пересекающихся измеримых множеств. Составим последовательность множеств $A_1 = B_1$, $A_2 = B_1 \cup B_2$, $A_3 = B_1 \cup B_2 \cup B_3$, ... Это последовательность вложенных друг в друга измеримых множеств, причем $A = \bigcup\limits_{n}^{}A_n = \bigcup\limits_{i}^{}B_i$ и $m(A_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} m(B_i)$. По непрерывности меры $m(A) = \lim\limits_{n\to\infty}^{}m(A_n) = \lim\limits_{n\to\infty}^{}\sum\limits_{i=1}^{n} B_i = \sum\limits_{i=1}^{\infty} B_i $. Таким образом, из непрерывности меры следует ее $\sigma$-аддитивность.

Но можно показать и обратное - что из $\sigma$-аддитивности меры следует ее непрерывность. Тогда вопрос: зачем два названия для одного понятия?
Или я где-то ошибся в доказательстве?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #994235 писал(а):

Тогда вопрос: зачем два названия для одного понятия?

Эти понятия равносильны если все рассматриваемые множества имеют конечную меру. Проблемы начинаются, если мера множеств может равняться бесконечности. Тогда при выполнении $\sigma$-аддитивности мера не всегда будет непрерывной. Пример несложно построить.

[mihailm]

Anton_Peplov в сообщении #994235 писал(а):

...Тогда вопрос: зачем два названия для одного понятия?...

Для удобства

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #994249 писал(а):

Проблемы начинаются, если мера множеств может равняться бесконечности. Тогда при выполнении $\sigma$-аддитивности мера не всегда будет непрерывной.

Ох, не люблю я этих бесконечностей...

А при выполнении непрерывности мера всегда $\sigma$-аддитивна, даже и для множеств бесконечной меры?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #994292 писал(а):

А при выполнении непрерывности мера всегда $\sigma$-аддитивна, даже и для множеств бесконечной меры?

Конечно, Вы же доказывали. Поэтому понятие $\sigma$-аддитивности удобнее, хотя и означает почти то же.

UPD. Хотя я не уверен, корректно ли говорить о такой непрерывности для множеств бесконечной меры. Какой-то смысл этому можно, наверное, придать (типа локальный), но обычно всё же говорят о множествах конечной меры.

Anton_Peplov в сообщении #994292 писал(а):

Ох, не люблю я этих бесконечностей...

Хорошо, я поясню. Когда Вы начнёте доказывать это:

Anton_Peplov в сообщении #994235 писал(а):

Но можно показать и обратное - что из $\sigma$-аддитивности меры следует ее непрерывность.

для пересечения вложенных множеств, Вам придётся в первую очередь предположить, что $m(A_1)\ne \infty$. Иначе не докажете.

Тривиальный контрпример к пересечению множеств бесконечной меры на прямой с обычной мерой:
$A_i=[i;\infty)$; тогда для любого $i$ имеем $m(A_i)=\infty$, но $m(A)=m(\varnothing )=0$.
Примеры могут быть и не такие тривиальные.

-- 23.03.2015, 01:13 --

Я немного увёл Вас в сторону от сути Вашего вопроса, углубившись в разницу схожих понятий. Но а что если бы одно выводилось через другое без исключений?
А то что теорема Пифагора эквивалентна пятому постулату (при прочих равных), не побуждает Вас спрашивать, кому она нужна?

Вы должны понимать, что непрерывность меры это полезное свойство, которым удобно пользоваться, однажды его установив, а не вытягивая всякий раз из определений и аксиом.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #994316 писал(а):

Тривиальный контрпример к пересечению множеств бесконечной меры на прямой с обычной мерой

Вот я бы до этого примера в жизни не додумался. А ведь и правда: есть ли точка, принадлежащая всем лучам? Нет, для всякой точки $x$ можно рассмотреть луч $[x+1, \infty)$, которому она не принадлежит. Значит, пересечение всех лучей пусто. Пустое пересечение вложенных друг в друга бесконечных множеств. Бррр, кровь стынет.

grizzly в сообщении #994316 писал(а):

А то что теорема Пифагора эквивалентна пятому постулату (при прочих равных), не побуждает Вас спрашивать, кому она нужна?

Эка Вы хватили. Эквивалентность пятого постулата пифагоровым штанам - факт глубоко неочевидный и установлен был на два тысячелетия позже, чем стали известны сами эти штаны и постулаты. А тут все близко и, вроде бы, эквивалентно, а названия разные. Насторожило. Мало ли понятий близких, но не тождественных, а в доказательстве я могу что-нибудь и ушами прохлопать. Ну ладно, дело-то не в терминологии.