Расстояние и столбы

[Tosha]

На кольцевом шоссе длиной $100$км находится $10$ столбов. На каждом столбе написано расстояние до ближайшего столба. Оказалось, что сумма десяти написанных на столбах чисел равна $20$. Докажите, что есть участок длиной а) $16$ км б) $18$ км, на котором нет ни одного столба.

Если расположить столбы друг за другом через два км, то все сходится. Но вот при произвольной расстановке как-то сложно.

Может от противного? Пусть не нашлось такого участка $18$км, на котором нет ни одного столба. Тогда разобьем шоссе на участки по 18 км. Таковых будет 11 и еще один в 2 км. на каждом участке в 18 км есть хотя бы один столб. Так как столбов 10, то на каждый из 11 участков поставить столб не получится, так как столбов должно быть не менее 11. Противоречие. Из пункта б) следует а).

Правильно ли это?

[grizzly]

Tosha в сообщении #993722 писал(а):

кольцевом шоссе длиной $100$км

Tosha в сообщении #993722 писал(а):

разобьем шоссе на участки по 18 км. Таковых будет 11 и еще один в 2 км

Tosha в сообщении #993722 писал(а):

Правильно ли это?

Нет.

[Tosha]

Точно, спасибо. А как тогда примерно начать рассуждать в данной ситуации?

[grizzly]

Сначала подумайте, как максимально экономно (касательно упомянутой суммы) расставлять столбы на больших расстояниях. У вас слишком уж грубая гипотеза -- все через 2 км. Когда догадаетесь, поищите ответ для прямолинейного шоссе, потом перейдите к кольцевому.

Я бы изучал задачу, начав с чего-то простого и усложняя условие по мере понимания.

[Tosha]

Спасибо. Вот давайте по прямой сначала, действительно. Слева направо будем расставлять столбы. Пусть первый столб будет точкой отсчета. Через $x$ км поставим второй. Третий столб можно уже подальше поставить, чтобы первый был ближайший для второго. Пусть третий столб на расстоянии $y>x$. Четвертый через $x$, пятый через $y$ итд.

$|$ --это пусть будет столбом.

$|x|y|x|y|x|y|...$

Получается, что для окружности-таки $5x=20$, $x=4$, $5y=80$, $y=16$.

Верно? То есть получается, что есть 5 участков 16км, на которых нет ни одного столба. А вот 18км не может быть без единого столба) Правильно?

[grizzly]

Tosha в сообщении #993722 писал(а):

Оказалось, что сумма десяти написанных на столбах чисел равна $20$.

Tosha в сообщении #993778 писал(а):

Получается, что для окружности-таки $5x=20$, $x=4$...
Верно?

Всё ещё нет, но уже намного лучше.

[Tosha]

А что именно не так? Как тогда начать делать "так"?

[grizzly]

Tosha в сообщении #993831 писал(а):

А что именно не так? Как тогда начать делать "так"?

Попробую объяснить то же ещё раз, разбавляя ваши же формулировки своими словами. Есть 10 столбов, на каждом написано число 4. Сумма всех этих чисел равна 20. Что здесь не так?

Tosha в сообщении #993778 писал(а):

А вот 18км не может быть без единого столба)

И ещё вот это. Учитесь отличать "не может быть" от "может не быть". 18 очень даже может быть, да хоть 81.

Ну а теперь, когда (надеюсь) интуитивно уже всё понятно, нужно ещё это всё аккуратно доказать.

[Shadow]

Tosha в сообщении #993831 писал(а):

А что именно не так? Как тогда начать делать "так"?

А давайте сделаем так: В начале отсчета поставим столб и через 2 км другой (на второй километр). А потом на двадцатый и на двадцать второй километр. На сороковой и сорок второй...

[Tosha]

grizzly в сообщении #993844 писал(а):

Попробую объяснить то же ещё раз, разбавляя ваши же формулировки своими словами. Есть 10 столбов, на каждом написано число 4. Сумма всех этих чисел равна 20. Что здесь не так?

Tosha в сообщении #993778 писал(а):

А вот 18км не может быть без единого столба)

И ещё вот это. Учитесь отличать "не может быть" от "может не быть". 18 очень даже может быть, да хоть 81.

Ну а теперь, когда (надеюсь) интуитивно уже всё понятно, нужно ещё это всё аккуратно доказать.

Да, все-таки не 4, а два. $x=2$, а $y=\dfrac{100-10}{5}=18$.

Значит $18$ км между столбами при максимальной экономии. Так?

[grizzly]

Да, теперь вы и понимаете и считаете правильно

[Tosha]

grizzly в сообщении #993852 писал(а):

Да, теперь вы и понимаете и считаете правильно

Но получается, что мы просто предъявили пример, когда найдутся 18 км без столбов. Но ведь нужно доказать, что при любой расстановке так произойдет. Если кратчайшие расстояния взять не по 2. А такие $1,1,1,1,1,2,2,2,4,5$, то картина поменяется. Если расстояния до неближайших, но соседних столбов не принять равными, то ситуация поменяется. Как же учесть эти изменения?

[ИСН]

Вот теперь Вы, кажется, приблизились к пониманию того, в чём состоит задача на самом деле.

-- менее минуты назад --

Короче. Проедем весь круг. В каждый момент мы находились на отрезке между какими-то двумями столбами. Сколько всего таких отрезков? Какова их суммарная длина?

[Tosha]

ИСН в сообщении #993864 писал(а):

Вот теперь Вы, кажется, приблизились к пониманию того, в чём состоит задача на самом деле.

-- менее минуты назад --

Короче. Проедем весь круг. В каждый момент мы находились на отрезке между какими-то двумями столбами. Сколько всего таких отрезков? Какова их суммарная длина?

отрезков 10, длина 100 км. Те, что короткие в сумме 10, длинные в сумме 90. А это разве поможет ответить на те вопросы?

[ИСН]

Если бы у Вас был встроенный различитель того, что поможет ответить на вопросы, от того, что не поможет, то Вы бы на них уже успешно ответили, не так ли?
Теперь к делу. Нет ли у нас хоть какого-нибудь приблизительного знания о том, сколько именно там будет "коротких" отрезков, а сколько "длинных"?